«Теоретическая механика» по теме «Статики. Кинематика. Динамика»

Задача № С1.

а) Дано: P1 = P2 = P = 10 кН

М = 4 кН * м

Найти: XB = ?

 

Решение:

∑ Мia = 0

P1 * sin 600 * 1+ P2 sin 600 * 2 + M – XB * 1 = 0

XB = — M + P1 * sin 600 * 1 + P2 sin 600 * 2 / 1 =

= — 4 + 10 * 0.866 * 1 – 10 * 0.866 * 2 / 1 = — 12.66 кН

 

б) ∑ xi = 0

XB — P1 * cos 600 — P2 cos 600 = 0

XB = (P1 + P2) * cos 600 = 0.5 * (10 + 10) = 10 kH

XB = 10 kH

 

в) ∑ Yi = 0

P2 * sin 600 — P1 * sin 600 — RA * sin 450 = 0

RA = P2 * sin 600 — P1 * sin 600 / sin 450 = 0, т к P1 = P2 = P

∑ xi = 0;

XB — P1 * cos 600 — P2 cos 600 = 0

XB = P1 * cos 600 + P2 cos 600 = 0

XB = 10 * 0,5 + 10 * 0,5 = 10 кН

В способах закрепления б) и в) реакция XB имеет наименьший модуль.

 

Схема б)

∑ Yi = 0; YА + P2 * sin 600 — P1 * sin 600 = 0

YА = — P2 * sin 600 + P1 * sin 600 = 0

∑ Мia = 0; МА + М — P1 * sin 600 * 1 + P2 * sin 600 * 2 — XB * 1 = 0

МА = P1 * sin 600 * 1 — P2 * sin 600 * 2 – М + XB * 1 =

= 10 * 0,8661 * 1 – 10 * 0,8661 * 2 – 4 + 10 * 1 = — 2,66 кН*м.

Реакции опор по схеме б): RА = YА = 0; МА = — 2,66 кН*м; XB = 10 кН.

 

Схема в)

∑ Мiс = 0; МB + М — P2 * sin 600 * 1 + P1 * sin 600 * 2 — XB * 1 = 0

МB = — M * P2 * sin 600 * 1 — P1 * sin 600 * 2 + XB * 1 =

= — 4 + 10 + 0.866 * 1 – 10 * 0.866 * 2 + 10 * 1 = — 2.66 кН*м.

Реакции опор по схеме в) для закрепления бруса: RА = 0; МB = — 2.66 кН*м

XB = 10 кН

Ответ: б): XB = 10 кН; RА = YА = 0; МА = — 2,66 кН*м.

в): XB = 10 кН; RА = 0; МB = — 2,66 кН*м.

 

Задача № С5.

Дано: G = 1.5 kH; Q = 16 кH; а = 0,2 м; b = 0.3 м; с = 0,04 м; α = 450;

fтр = 0,3.

Найти: xo = ?; yo = ?; XA = ?; YA = ?

Решение:

Натяжение нити груза Q, равно весу тела: T = Q.

а) Система сил приложенная к барабану:

∑ Мо = — Т ‘*R + Fсц * 1,2R = 0

Fсц = Т’*R/1.2R = 1.6/1.2 = 13.3 kH

Fсц = fтр * N; N = Fсц/ fтр = 13.3/0.3 = 44.3 kH

∑x = 0; ∑x = — Fсц + x0 + Т ‘ cos 450 = 0

x0 = Fсц — Т ‘ cos 450 = 13.3 – 16 cos 450 = 1.99 kH

∑Y = 0; ∑Y = — N + y0 — Т ‘ cos 450 = 0

y0 = N + Т ‘ cos 450 = 44.3 + 16 cos 450 = 55.6 kH

б) Система сил приложенных к штоку:

Уравнение равновесия:

∑ МА = 0; N ‘ a + F ‘сц * e – P sin 300 (a + b) = 0

P = N ‘ a + F ‘сц * e / a + b = 44.3 * 0.2 + 13.3 * 0.04 / 0.5 = 18.78 kH

∑ x = 0; — XA + F ‘сц + P cos 300 = 0

XA = F ‘сц + P cos 300 = 13.3 + 18.78 * √3/2 = 29.56 kН

∑ y = 0; YA + N ‘ – P sin 300 = 0

YA = P sin 300 — N ‘ = 18.78 sin 300 – 44.3 = — 34.9 kH

Ответ: x0 = 1.99 kH; y0 = 55.6 kH; XA = 29.56 kН; YA = — 34.9 kH.

 

Задача № К1.

Дано: x = 2 sin(Πt/3); y = — 3 cos(Πt/3) + 4; t = 1c.

Hайти:

1) Скорость точки

2) Ускорение точки

3) Касательное ускорение

4) Нормальное ускорение

5) Радиус кривизны траектории

Решение:

1) Скорость точки:

Vx = x = 2 cos(Πt/3) * Π/3; при t = 1; Vx = 1.047

Vy = y = 3 sin(Πt/3) * Π/3; при t = 1; Vy = 2.7 см/с

V = √V2x + V2y = √ 12 + 2.72 = 2.9 cм/с2

2) Ускорение точки:

ax = x = 2Π/3 * ( — sin Πt/3) * Π/t; при t = 1; ax = — 1.9 см/с2

ay = y = Π2/3 cos(Πt/3); при t = 1; ay = 1.65 см/с2

а = √a2x + a2y = √ (-1.9)2 + 1.652 = 2.5 cм/с2

3) Касательное ускорение:

aτ = [(Vxax + Vy ay)/V] = [(-1*1.9) + 2.7*1.6/2.9] = 0.8 см/с2

4) Нормальное ускорение:

an = [Vxax — Vy ay]/V = 1*1.65 – 2.7*(- 1.9) / 2.9 = 2.3 см/с2

5) Радиус кривизны траектории:

Ρ = V2/ an = 2.92 / 2.3 = 3.7 cм

 

Задача № К2.

Дано: R2 = 80 см; R3 = 45 см; r3 = 30 см; x0 = 3 см; V0 = 15 см/c; x2 = 102 см;

t2 = 3 с; t1 = 2 с.

Найти: Vгр = ?; агр = ?; Vм= ?; а м = ?.

Решение:

x = c2t2 + c1t + c0; t0 = 0 > x0 = 3 см

x = c2t2 + c1t + 3

t0 = 0, V0 = 15 см/с } > x0 = c1 = 15 см/с

x = c2t2 + 15t + 3

t2 = 3 с, x2 = 102 см } > 102 = c232 + 15*3 + 3

c2 = 102 – 45 – 3/9 = 6 см/с2

Скорость груза 1): V1гр = x = (12t + 15)/t = 39 cм/c

Ускорение груза 1): а1 = x = 12 cм/c2

Для определения скорости ускорения т. М записываем уравнение связывающие скорость груза и угловые скорости колёс W2 и W3.

V1 = W3 * R3; W3 = V1/R3 = (12t + 15)/ R3.

i = W2/W3 = r3/R2 = > W2 = (r3/R2)* W3 = (12t + 15)* r3/ R2*R3

при t = 2c, i = (12 * 2 + 15/45*80)*30 = 0.325 c-1.

VM = W2*R2 = ((12t + 15)/ R2*R3)* r3/R = 12*2 + 15/45*30 = 26 см/с.

а1 = ε3*R3 > ε3 = а1/R3; аnτ = ε3*r3

аnτ = ε2*R2 > ε3*r3 = ε2*R2 } ε2 = а1*r3/ R2*R3

аMβ = ε2*R2 = a* r3 / R3 = 12*30/45 = 8 cм/с2.

аM4 = R2 * W22 = 80 * 0.3252 = 8.45 см/с2.

аM = √ (аM4 )2 + (аMβ)2 = √ 8,452 + 82 = 11,6 см/с2.

Задание № Д1.

Дано: α = 400; Va = 2 м/с; t = 0,1; l = 7 м; h = 8 м; β = 450.

Найти: Vc = ?; b = ?.

Решение:

mx1 = σ * sin α – F

F = tN = tσ*cosα = tmg*cosα

mx1 = mg*sinα – tmg*cosα > x1 = g*sinα – tg*cosα

x1 = g*(sinα – t*cosα)*t + c;

x1 = g*(sinα – t*cosα)/2 *t2 + c1t + c2;

при t = 0; x10 = Va; x10 = 0.

c1 = 0; c2 = 0.

При t = τ, x1 = l = 7м.

7 = 9,81*(sin 400 – 0.1*cos 400)/2 * t2;

t = 1.67 c; x1 = Vb; при t = τ; Vb = 9,81*(sin 300 – 0,1*cos 400)*1.67 = 5.9м/с

Участок BC

mx = 0; my = σ

x = C3; y = gt + C4; x = σ3t + C5; y = gt2/2 + C4*t + C6;

при t = 0; x0 = 0; y0 = 0.

X = VB*cosx; y0 = VB*sinx;

Находим: C3; C4; C5; C6

x0 = C5 > C5 = 0; y0 = C4 > C6 = 0

Получаем уравнение: x = VB*cosα; y = gt + VB*sinα;

x = VB*cosα; y = gt + VB*sinα

x = VB*cosα*t; y = gt2/2 + VB*sinα*t

t полёта при y = R = 8 м.

8 = 9,81* \t2/2 +5.9*sin400*t => 0.89 c.

xc = 5.9*cos400 = 4.3 м/с

yc = 9.81*0.89 + 5.9 sin400 = 9.87 м/c

Vc = √xc2 + yc2 = √4.32 + 9.872 = 10.9 м/с

b = √82 + 2.42 = 10.1 м/с

 

Задание № Д5.

 

Дано: m = 50; V0 = 8; T1 = 4; t2 = 10; t3 = 15; P0 = 50; P1 = 250; P2 = 350;

P3 = 100; α = 350; t = 0.2

Найти: V1 = ?; V2 = ?; V3 = ?

Решение:

1) mV1x – mV0x = ∑Six

∑Six = — mgt1*sinα – Fтрt1 + Spx;

Fтр = tN = tmg*cosα; Spx = ∫ Pdt

Spx = 50*4 200 н/с

mV1x* mV0x = 2001 – mg*sinα t1 – tmg*cosα t1

V1x = V0x + 200/m – g* sinα t1 – tg cosα t1

V1x = 8 + 4 – 9.81 * 0.45*4 – 0.2*9.8*0.89*4 = 19.2 м/с

Движение тела в момент времени t2

mV2x — mV1x = ∑Six, где mV2x — mV1x = — mg*sinα(t1 — t2) + tmg*cosα(t1 — t2)

V2x = V1x – g*sinα(t1 — t2) – tg* cosα(t1 — t2)

V2x = 19.2 м/с – 9,8*0,37*6 – 0,2*0,9*6 = 2,2 м/с2

Промежуток времени(t3 — t2):

mV3x — mV2x = ∑Six, где

∑Six = — mg*(t3 — t2)*sinα – tmg*cosα*(t3 — t2)+Spx

Spx = 5*100/2 = 250 м/с

Vx3 = 9,7 м/с

 

Задание № Д10.

Дано: α = 600; m1 = M; m2 = 0.22M; m3 = 0.58M; R3 = 0.3м; R2 = 0.2м; f1 = 0.0754; k3 = 0.04м; S = 1 м

Найти: V1 = ?

Решение:

В начальном положении система находится в покое, Т0 = 0; то Т = ∑АЕi;

Где АЕi = — сумма внешних сил, приложенных к системе.

Вычислим кинетическую энергию в конечном положении: Т = Т1 + Т2 + Т3

Кинетическая энергия тела 1: Т1 = m1V12/2 = m*(V12/2)

Кинетическая энергия тела 2: Т2 = J2x*W22/2

J2x = m2R22/2 = 0.22* R22*m/2

W2 = Ve/R2 = V1/R2

Т2 = (0.11*m* R22/2)*(V12/ R22) = 0.055 m1V12

Тело 3: Т3 = (m3Vе32/2) + (J3*W32/2); W32 = V1/ R3

V3 = W3*R3 = (V1/R3)*R3= V1

J3j = m1*K32 = 0.58*m*K32 = 0.02m

Т3 = (0.58m* V12)/2 + (0.02m* V12/R32) = mV12 (0.58*R32 + 0.04)/2R32

T = (m1V12/2) + 0.055mV12 + mV12*(0.58*R32 + 0.04)/2R32 = mV12*R32 + 0.11* mV12*R32 + mV1*(0.58*R32 + 0.04)/2R32 = mV12*0.09 + 0.11*mV12*0.09 + mV12*0.08 = 0.18 mV12

∑АЕi = АG1 + АIT1 + АG3 + Аmc

АG1 = G1*sin α * S = mgS*√3/2

Работа силы трения:

Атр = — Fтр*S = — fN1*S

N1 = G1*cos α = mg*cos α

Атр = — fSmg*cos α

Работа силы натяжения α:

АG3 = — G3 * S = — 0,58mgS

Работа сил сопротивления качению тела №3:

Аmc = — Мс* ψ3; Мс = α*N3

N3 = G3 = 0.58mg

Мс = 0,58*mgδ

Аnc = — 0.58*mgS*S/R3

∑АЕi = mgS*√3/2 – fSmg*cos α – 0.58mgS – 0.58mgδ* S/R3 = mgS*(√3/2 – f * N3/2 – 0.58 – 0.58*δ/ R3) = mgS*(0.86 – 0.075*1/2 – 0.58 – 0.58 * 0.04/0.03) = 0.05mgs

T = ∑АЕi

0.18*m V12 = 0.05*mgS

V1 = √(0.05*9.8*1)/0.18 = 1.7 м/с

 

 

 

Задача № Д16.

Дано: m1 = 2,5; m2 = 2; m3 = 6; l1 = 0.4; l2 = 0.2; w = 140; α = 45.

Найти: определить реакции внешних связей?

Решение: Ф* = — mac

Ф3 = m3*aC3 = m3*w2*(0.5l*sinx + l2)

Ф2 = m2*aC2 = m2*w2*0.5l2

Ф3 h = ∫30*ζ*cosα dФ

dФ = (l1 + ζsinα) w2γdζ

m1w2*(0.5l1*sinx + l2)h = ∫30(l2 + ζsinα) w2γζcosαdζ

h = l1*( l2 + 2/3*l1 + sinα) cosα/ l1*sinα + 2l2 =

0.4*(0.2 + 2/3*0.4*0.7)*0.7/0.4*0.7 + 2*0.2 = 0.18

∑Mix = 0; — YB * 0.7 – Ф2 * 60 – G2 * 0.1 — G3 *( l2 + l1 * 1/2sinα — Ф3*(0.6 — h) = 0

YB = – Ф2 * 0.6 — G2 * 0.1 — G3 *( l2 + l1 * 1/2sinx) — Ф3*(0.6 — h);

YB = — (m2*w2*0.5l2)*0.6 — G2 * 0.1 — G3 *( l2 + l1 * 1/2sinα) — m3*w2*(0.5l1sinα +l2) * (0.6 — h)/0.7;

YB = — (2*140*0.5*0.5)*0.6-9.8*2*0.1-9.8*6*(0.2+0.4*0.5*0.7)-6*1402*(0.2+0.4*0.5*0.7)*(0.6 – 0.18)/0.7 = — 7.3 кн

∑Yi = 0; yA + yB + Ф1 + Ф2 = 0 =>

YB = — 5.29kH

∑Zi = 0; ZD — G1 — G2 — G3 = 0

ZD = 0.072

XB = XA = 0

Реакция пружины:

— G3 (l1/l2)sinα + Ф3 h — P l1cosα = 0

P = 2.16 kH

Задание № Д19.

Дано: G1 = k1*G; G2 = k2*G; G3 = k3*G; G4 = k4*G; R = kr*r; k1 = 2; k2 = 1.5;

k3 = 1; k4 = 1.25; kr = 2; α = 600; t = 0.2.

Найти: натяжения в ветвях 1-2, 3-4 и ускорение грузов 1 и 4.

Решение:

Ф1 = — m1a1; MФ2 = J2xE2

Ф3 = — m3a3; MФ3 = J3xE3

Груз 4: Ф4 = — m4a4; b = 3r/2 – r = r/2

w2 = w3 = V1/R = V1/2r;

V3 = V4 = w3*b = V1/4;

δφ2 = δφ3 = SS1 / 2r

SS3 = δS4 = δS1/4;

Общее уравнение динамики:

G1 sin600 – F — Ф1 – M902 /2r — G3/4 — Ф3/4 — M903/2r — G4/4 — Ф4/4 = 0 (1)

G1 = 2G; G2 = 1.5G; G3 = G; G4 = 1.25G

F = tG*cos600 = t*G*1/2 = tmg

Ф1 = — m1a1 = 2m1a1;

M902 = J2x E2 = m2i2x2 E2 = 1.5mr2 E2;

Ф3 = — m3a3 = ma3;

Ma03 = J3xE3 = [m3 (1.5r2)/2] E2 = 9mr2 E3/8

Ф4 = — m4a4 = 1.25ma4;

E2 = E3 = a1/2r

a3 = a4 = a1/4;

Общее уравнение динамики (1) примет вид:

2g√3/2 – tg – 2a1 — 2a1/3r – 9/4 — a1/16 = 0

a1 = g(√3 – t – 0.7)/3.14; a1 = 2.74 м/с2;

a4 = a1/4 = 2,74/4 = 0,68 м/с2;

Натяжение в нитях:

G1δs1*sin600 – Fδs1 – 90δs1 — T1-2δs1 = 0 =>

T1-2 = G1*sin600 – F – 90 = 2G sin600 – 2Gtcos600 – 2(G/g)a1;

T1-2 = 1.08G;

T3-4 = G4 + Ф4 = 1.25G + 1.25(G/g)a4;

T3-4 = 1.32G