Оглавление
Введение 3
Постановка задачи 3
Понятие многоканальной системы с неограниченной очередью
Имитационное моделирование 5
Анализ существующей СМО отдела кассовых операций кафе быстрого питания 5
Моделирование СМО1 6
Моделирование СМО 2 9
Моделирование СМО 3 10
Уменьшение СМО на 2 канала не имеет смысла. 11
Моделирование СМО 11
Технические характеристики 13
Экономическое обоснование 14
Затраты 14
Доход 14
Заключение 14
Список используемой литературы 15

Работа № 4134. Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы, цена оригинала 1000 рублей. Оформлен в программе Microsoft Word.

Оплата. Контакты

Введение
Моделирование — метод решения задач при использовании которого исследуемая система заменяется более простым объектом описывающим реальную систему и называемым моделью.
Моделирование применяется в случаях когда проведение экспериментов над реальной системой невозможно или нецелесообразно например по причине хрупкости или дороговизны создания прототипа либо из-за длительности проведения эксперимента в реальном масштабе времени.
Различают физическое и математическое моделирование. Примером физической

модели является уменьшенная копия самолета продуваемая в потоке воздуха. При использовании математического моделирования поведение системы описывается с помощью формул. Особым видом математических моделей являются имитационные модели.
Имитационная модель — это компьютерная программа которая описывает структуру и воспроизводит поведение реальной системы во времени. Имитационная модель позволяет получать подробную статистику о различных аспектах функционирования системы в зависимости от входных данных.
Применение метода имитационного моделирования можно продемонстрировать на примере работы отделения банка по обслуживанию физических лиц. Допустим что необходимо определить минимальное количество обслуживающего персонала которое обеспечивает требуемое качество сервиса.
Критерий качества сервиса зададим правилом средний размер очереди клиентов не должен превышать N человек. Очевидно что для решения поставленной задачи необходимо иметь достаточные знания о системе какие клиенты посещают банк какое количество клиентов приходит в течение рабочего дня а также сколько времени занимает обслуживание одного клиента.
Хотя данная задача и может показаться специализированной схожие проблемы возникают во многих областях где задействованы людские и технические ресурсы. Оплата времени работы квалифицированного работника и времени использования сложной техники составляет немалую долю расходов компаний. Определение оптимального графика использования ресурсов позволяющего системе эффективно выполнять поставленные задачи позволяет снизить расходы а значит увеличить прибыльность.

Постановка задачи

В кафе быстрого питания имеется кассы. Интенсивность потока посетителей составляет 2 заявки в минуту. Среднее время обслуживания клиентов равняется 2 минуты. Около касс могут скапливаться очереди. Необходимо провести анализ существующей системы массового обслуживания смоделировать системы увеличения касс уменьшения для каждой ситуации рассчитать финальные вероятности производительность пропускную способность экономические характеристики доходы расходы прибыль рентабельность. Данная СМО является многоканальной с неограниченной очередью.
Понятие многоканальной системы с неограниченной очередью
Пусть имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок поступающих в СМО имеет интенсивность λ а поток обслуживания – интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.
Система может находится в одном из состояний S1 S2 … Sk … Sn … нумеруемых по числу заявок находящихся в СМО S0 – в системе нет заявок все каналы свободны S1 – канал занят S2 – заняты два канала остальные свободны… Sk – занято k каналов остальные свободны… Sn – заняты все n каналов очереди нет Sn+r – заняты все nканалов r заявок в очереди.
Граф этой системы изображен на рисунке
Интенсивность потока обслуживания по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины μ до величины nμ так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. Когда число заявок в системе больше n интенсивность потока обслуживания сохраняется раной nμ.
В том случае когда очередь неограниченно растет. Из соотношения следует что предельные вероятности существуют.
Для n-канальной СМО с неограниченной очередью можно найти
• вероятность того что заявка окажется в очереди
• среднее число занятых каналов
• среднее число заявок в очереди
• среднее число заявок в системе
• относительная величина затрат связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди заявок может быть задана например следующим образом
• среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе вычисляются также по формулам Литтла.
Для систем с неограниченной очередью при ρ<1 любая заявка пришедшая в систему будет обслужена т.е. вероятность отказа Ротк0 относительная пропускная способность Q1 а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок те. Аλ.

Имитационное моделирование

Анализ существующей СМО отдела кассовых операций кафе быстрого питания
Исходные данные
Количество касс n
Интенсивность поступления заявок заявкимин λ1
Среднее время обслуживания минt_обс2
Время работы СМОч 15.
Состояние системы
S_0 – в кассе нет клиентов
S_1 – занят один кассир остальные свободны
S_2 – занят два кассир остальные свободны
S_3 – занято три кассира остальные свободны
S_ – все кассиры заняты очереди нет
S_n+r – заняты все каналы r пассажиров в очереди.
Анализ
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживания –
µ1t1205
Интенсивность нагрузки –
ρλµ1052
Проведем проверку на наличие финальных вероятностей –
ρn205 — то финальные вероятностисуществуют процесс обслуживаниястабилен.
Найдем финальные вероятности –
P_01+ρ^11+ρ^22+ρ^33+ρ^^-11+2^11+2^22+2^33+2^^-1013
P_1ρ^11P_00286
P_2ρ^22P_00286
P_3ρ^33P_00191
P_ρ^P_00095
Сумма финальных вероятностей равна единице.
В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена поэтому P_обсл1а P_отк0.
Среднее количество занятых каналов –
k ̅ρ2
Среднее число заявок в очереди –
L_очередиρ^n+1P_0nn〖1-ρn〗^2 019
Среднее число заявок находящихся в системе –
L_сисL_очереди+ρ219
Среднее время пребывания заявки в очереди минуты –
W_очереди1λL_очереди11019019
Среднее число пребывание заявки в системе –
W_сис1λL_сис11219219
Среднее число каналов занятых обслуживанием –
n_3ρP_обс212 канала.
Среднее число простаивающих каналов –
n_прn-n_3-22 канала
Коэффициент занятости каналов обслуживанием –
k_3n_3n205
Следовательно система на 50 занята обслуживанием.
Среднее время простоя СМО –
t_прP_откt_обс020 мин.
Среднее число обслуживаемых заявок –
L_обсρ2.
Среднее число заявок в системе –
L_СМОL_оч+L_обс019+2219 ед.
Моделирование СМО1
Для увеличения технических характеристик увеличим СМО на 1 канал.
Исходные данные
Количество касс n5
Интенсивность поступления заявок заявкимин λ1
Среднее время обслуживания минt_обс2
Время работы СМОч 15.
Состояние системы
S_0 – в кассе нет клиентов
S_1 – занят один кассир остальные свободны
S_2 – занят два кассир остальные свободны
S_3 – занято три кассира остальные свободны
S_ – все кассиры заняты очереди нет
S_n+r – заняты все каналы r пассажиров в очереди.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживания –
µ1t1205
Интенсивность нагрузки –
ρλµ1052
Проведем проверку на наличие финальных вероятностей –
ρn250– т.к. 0<1 то финальные вероятности существуют процесс обслуживания стабилен.
Найдем финальные вероятности –
P_01+ρ^11+ρ^22+ρ^33+ρ^+ρ^55^-11+2^11+2^22+2^33+2^+2^55^-10138
P_1ρ^11P_00276
P_2ρ^22P_00276
P_3ρ^33P_0018
P_ρ^P_00092
P_5ρ^55P_00037
Сумма финальных вероятностей равна единице.
В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена поэтому P_обсл1а P_отк0.
Среднее количество занятых каналов –
k ̅ρ2
Среднее число заявок в очереди –
L_очередиρ^n+1P_0nn〖1-ρn〗^2 00
Среднее число заявок находящихся в системе –
L_сисL_очереди+ρ20
Среднее время пребывания заявки в очереди минуты –
W_очереди1λL_очереди110000
Среднее число пребывание заявки в системе –
W_сис1λL_сис112020
Среднее число каналов занятых обслуживанием –
n_3ρρ_обс212 канала.
Среднее число простаивающих каналов –
n_прn-n_35-23 канала
Коэффициент занятости каналов обслуживанием –
k_3n_3n250
Следовательно система на 0 занята обслуживанием.
Среднее время простоя СМО –
t_прP_откt_обс020 мин.
Среднее число обслуживаемых заявок –
L_обсρ2.
Среднее число заявок в системе –
L_СМОL_оч+L_обс00+220 ед.

Моделирование СМО 2
Для уменьшения расходов на содержание СМО смоделируем уменьшение на один канал.
Исходные данные
Количество касс n3
Интенсивность поступления заявок заявкимин λ1
Среднее время обслуживания минt_обс2
Время работы СМОч 15.
Состояние системы
S_0 – в кассе нет клиентов
S_1 – занят один кассир остальные свободны
S_2 – занят два кассир остальные свободны
S_n+r – заняты все каналы r пассажиров в очереди.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживания –
µ1t1205
Интенсивность нагрузки –
ρλµ1052
Проведем проверку на наличие финальных вероятностей –
ρn23067то финальные вероятности существуют процесс обслуживания стабилен.
В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена поэтому P_обсл1а P_отк0.
Среднее количество занятых каналов –
k ̅ρ2
Найдем финальные вероятности –
P_01+ρ^11+ρ^22+ρ^33^-11+2^11+2^22+2^33^-10158
P_1ρ^11P_00316
P_2ρ^22P_00316
P_3ρ^33P_00211
Сумма финальных вероятностей равна единице.
В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена поэтому P_обсл1а P_отк0.
Среднее количество занятых каналов –
k ̅ρ2
Среднее число заявок в очереди –
L_очередиρ^n+1P_0nn〖1-ρn〗^2 126
Среднее число заявок находящихся в системе –
L_сисL_очереди+ρ326
Среднее время пребывания заявки в очереди минуты –
W_очереди1λL_очереди11126126
Среднее число пребывание заявки в системе –
W_сис1λL_сис11326326
Среднее число каналов занятых обслуживанием –
n_3ρP_обс212 канала.
Среднее число простаивающих каналов –
n_прn-n_33-21 канала
Коэффициент занятости каналов обслуживанием –
k_3n_3n23067
Следовательно система на 67 занята обслуживанием.
Среднее время простоя СМО –
t_прP_откt_обс020 мин.
Среднее число обслуживаемых заявок –
L_обсρ2.
Среднее число заявок в системе –
L_СМОL_оч+L_обс126+2326 ед.
Моделирование СМО 3
Смоделируем ситуацию когда уменьшаем СМО на 2 канала.
Исходные данные
Количество касс n2
Интенсивность поступления заявок заявкимин λ1
Среднее время обслуживания минt_обс2
Время работы СМОч 15.
Состояние системы
S_0 – в кассе нет клиентов
S_1 – занят один кассир остальные свободны
S_n+r – заняты все каналы r пассажиров в очереди.
Моделирование 2
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживания –
µ1t1205
Интенсивность нагрузки –
ρλµ1052
Проведем проверку на наличие финальных вероятностей –
ρn221 – т.к. 11 то финальной вероятности не существует очередь растет до бесконечности.
Уменьшение СМО на 2 канала не имеет смысла.
Моделирование СМО
Для уменьшения расходов на содержание СМО смоделируем Модель 3уменьшив одну кассу за счет выделения отдельного окна выдачи заказа уменьшив при этомсреднее время обслуживания.
Исходные данные
Количество касс n2
Интенсивность поступления заявок заявкимин λ1
Среднее время обслуживания минt_обс15
Время работы СМОч 15.
Состояние системы
S_0 – в кассе нет клиентов
S_1 – занят один кассир остальные свободны
S_2 – занят два кассир остальные свободны
S_n+r – заняты все каналы r пассажиров в очереди.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживания –
µ1t11507
Интенсивность нагрузки –
ρλµ10715
Проведем проверку на наличие финальных вероятностей –
ρn152075 то финальные вероятности существуют процесс обслуживания стабилен.
В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена поэтому P_обсл1а P_отк0.
Среднее количество занятых каналов –
k ̅ρ15
Найдем финальные вероятности –
P_01+ρ^11+ρ^22^-11+〖15〗^11+〖15〗^22^-10276
P_1ρ^11P_001
P_2ρ^22P_0031
Сумма финальных вероятностей равна единице.
В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена поэтому P_обсл1а P_отк0.
Среднее количество занятых каналов –
k ̅ρ15
Среднее число заявок в очереди –
L_очередиρ^n+1P_0nn〖1-ρn〗^2 3726
Среднее число заявок находящихся в системе –
L_сисL_очереди+ρ5226
Среднее время пребывания заявки в очереди минуты –
W_очереди1λL_очереди1137263726
Среднее число пребывание заявки в системе –
W_сис1λL_сис1152265226
Среднее число каналов занятых обслуживанием –
n_3ρP_обс15115 канала.
Среднее число простаивающих каналов –
n_прn-n_32-1505 канала
Коэффициент занятости каналов обслуживанием –
k_3n_3n152075
Следовательно система на 75 занята обслуживанием.
Среднее время простоя СМО –
t_прP_откt_обс0150 мин.
Среднее число обслуживаемых заявок –
L_обсρ15.
Среднее число заявок в системе –
L_СМОL_оч+L_обс3726+15.5226 ед.

Технические характеристики
Анализ Моделирование 1 Моделирование 2 Моделирование 3 Моделирование
t обсл 2 2 2 2 15
n 2 3 2
λ 1 1 1 1 1
µ 05 05 05 05 07
ρ 15 15 15 2 15
k 15 15 15 — 15
L_очереди 01791 00718 0932 — 3726
L_сис 167911 1572 167911 — 5226
W_очереди 00597 1572 00597 — 3726
W_сис 05597 052 05597 — 5226

Экономическое обоснование
Затраты
1 канал многоканальной СМО
Единовременные затраты
Кассовый аппарат 65 0002130 000р
Установка и настройка оборудования 25 000р
Итого 155 000
Постоянные затраты
Оплата электричества 20 000р
Зарплата кассирам 100 000р
Отчисление на соц. Нужды 30 от зп 30 000р
Техническое обслуживание 5 000210 000р
Итого 160 000р
Затраты на организацию производства
Затраты на электроэнергию 150 000
Затраты на продукцию 00 000
Зарплата сотрудникам 300 000
Отчисление на соц. Нужды 30 от зп 90 000
Затраты на перевозку 70 000
Итого 5 010 000
Итого затрат за месяц
5 170 000р.
Доход
1 канал многоканальной СМО
В среднем -ая ситуация канал будет обслуживать 60 заявок за 1 рабочий час.
Средняя стоимость заказа 220 р.
Количество рабочих часов в день 15 часов.
Итого доход за месяц5 90 000.
Средний доход за один рабочий день 198 000р.
Финансовый результата один рабочий месяц
5 90 000. — 5 170 000р. – 150 000р. 615 000р.
Заключение
Список используемой литературы