Начертательная геометрия — Поверхность

Цена 600 рублей один чертеж формата А3.

Кнопка оформить заказ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИИ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИАССКИЙ ФИЛИАЛ

МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ФИЛИАЛ

БЕРЕЖКО Л.Н.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ для студентов очной формы обучения по выполнению заданий № 3 и 4

ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Тема «Поверхности»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1.РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ №3 4

1.1 Метод замены плоскостей проекций 4

1.2. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость 6

1.3. Преобразование поверхности 7

1.4. Построение линии пересечения поверхности проецирующими плоскостями 10

1.4.1.Сечение призмы проецирующей плоскостью 11

1.4.2.Сечение пирамиды проецирующей плоскостью 11

1.4.3. Сечение цилиндра проецирующей плоскостью 11

1.4.4. Сечение конуса проецирующей плоскостью 12

1.4.5. Сечение сферы проецирующей плоскостью 14

1.5. Построение линии пересечения геометрического тела плоскостью 15

1.6. Построение натурального вида сечения 16

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ № 4 18

2.1. Пересечение поверхностей 18

2.1.1. Пересечение поверхностей, одна из которых занимает простейшее положение 19

2.1.2.Метод вспомогательных секущих плоскостей 20

2.1.3. Метод вспомогательных концентрических сфер 23

2.1.4. Заключение по первой части задания №4 26

2.2. Построение разверток поверхностей 27

2.2.1. Развертка призмы 27

2.2.2. Развертка пирамиды 28

2.2.3. Развертка цилиндра 32

2.2.4. Развертка конуса 33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35

ВВЕДЕНИЕ

Контрольные задания № 3и4 по начертательной геометрии выполняются студентами после изучения следующих тем:

1.Методы преобразования проекций. Замена плоскостей проекций.

2.Сечение поверхности проецирующими плоскостями.

3.Взаимное пересечение поверхностей.

Изучение этих тем позволит выполнить контрольные задания без особых усилий, так как в основе решения задач лежит материал, изложенный в этих темах. Кроме того, желательно ознакомиться с методическими указаниями по решению метрических задач методом замены плоскостей проекций, имеющихся на кафедре технической механики.

В данном методическом пособии рассмотрен порядок выполнения контрольных заданий с изложением основного теоретического материала, знание которого необходимо для решения задач.

1.РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ №3

Условие задачи сформулировано следующим образом.

Даны: непрозрачное геометрическое тело и секущая плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми.

Требуется на комплексном чертеже:

1.Построить проекции линии пересечения поверхности геометрического тела плоскостью.

2.Определить видимость элементов геометрического тела и линии сечения.

3.Построить истинный вид сечения.

Варианты задач представлены в методических указаниях.

Геометрическое тело представляет собой совокупность нескольких поверхностей, например, цилиндр и конус или призма, в основании которой лежит правильный пятиугольник, и конус, который стоит на этой призме.

Секущая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми и является плоскостью общего положения. Решение задачи сводится к построению линии пересечения этих поверхностей плоскостью общего положения. В общем виде построение линии пересечения поверхности плоскостью общего положения решается довольно сложно. Особенно это касается таких поверхностей как пирамида, конус и сфера.

Но если плоскость занимает проецирующее положение, то решение задачи по построению линии пересечения поверхности такой плоскостью значительно упрощается.

Следовательно, решение задачи удобно проводить после преобразования плоскости общего положения в проецирующую, т.е. перпендикулярную одной из плоскостей проекций. Это преобразование проведем с помощью метода замены плоскостей проекций.

Разберем основы этого метода в следующем подразделе.

1.1 Метод замены плоскостей проекций

Сущность этого метода заключается в том, что при неизменном положении геометрических тел в пространстве плоскости проекций поочередно заменяются таким образом, чтобы эти тела заняли по отношению к новым плоскостям частное положение.

Для выяснения основных принципов метода замены плоскостей проекций рассмотрим преобразование чертежа для точки.

Пусть дана система плоскостей проекций П1 и П2, где П1- это горизонтальная плоскость проекций и П2- фронтальная плоскость проекций. В этой системе плоскостей задана точка А, которая спроецирована на эти плоскости и получены проекции точки А – А1- горизонтальная проекция и А2- фронтальная проекция (рис.1).

комплексный чертеж точки А

На рисунке 2 показан комплексный чертеж точки А.

На пространственном чертеже вместо плоскости П 2 введем новую плоскость проекций П4. Эта плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П1-П4.Положение самой точки А осталось неизменным, т.е. сохранилось её расстояние до плоскости проекций П1.Это обстоятельство используем для построения проекций точки А в новой системе плоскостей проекций (рис.3, 4) .

построение проекций точки А

При замене плоскостей П2 на П4 положение горизонтальной проекции точки А (А1) остается неизменной, появляется новая проекция точки на плоскость П4 (А4), которую можно построить, используя расстояние от проекции А2 до оси Х1.Для этого от горизонтальной проекции А1 проводим перпендикуляр к оси Х2 . На этом перпендикуляре от оси Х2 откладываем расстояние от А2 до оси Х1. Получаем новую фронтальную проекцию точки А.

1.2. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость

Для упрощения решения задачи по построению линии пересечения поверхностей плоскостью общего положения необходимо преобразовать плоскость общего положения в проецирующую. Для этого воспользуемся методом замены плоскостей проекций. Рассмотрим это преобразование на отдельном чертеже (рис. 5).

метод замены плоскостей проекций

Пусть дана плоскость общего положения, заданная двумя пересекающимися прямыми. Эти прямые в вариантах заданы тремя точками. Соединив эти точки между собой, получим плоскость треугольника АВС.

1.Проведем в плоскости одну из главных линий – горизонталь или фронталь. Это построение необходимо для выбора новой оси проекций, так как у проецирующих плоскостей одна из главных линий является прямой проецирующей, т.е. одна ее проекция располагается перпендикулярно оси проекций, а вторая проекция является точкой.

На рисунке 5 проведена горизонталь плоскости h.

2. Проводим новую ось проекций перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Х 1.

3. Затем строим новые проекции точек на плоскость П4, как это было показано ранее. Если построение проведено верно, то проекцией плоскости на плоскость П4 будет прямая, т.е. плоскость общего положения стала перпендикулярна плоскости проекций П4, что и являлось целью данного преобразования.

1.3. Преобразование поверхности

После преобразования плоскости общего положения в проецирующую плоскость необходимо в это преобразование забрать с собой и те поверхности, пересечение с которыми будет выполняться при решении задачи. Для этого надо на поверхностях задать характерные точки и работать с ними, как с точками. Пример преобразования разных поверхностей приведен на рисунках: призма – рис.6, пирамида – рис.7,

преобразование призмы и пирамиды

цилиндр – рис.8, конус – рис.9,

преобразование цилиндра и конуса

сфера – рис.10.

преобразование сферы

На основании вышесказанного для решения своего варианта студент должен на одном чертеже выполнить эти преобразования сначала для плоскости, а затем — для поверхностей (рис.11).Для дальнейшего решения необходимо рассмотреть вопрос по построению линии пересечения различных поверхностей проецирующими плоскостями.

построение линии пересечения различных поверхностей проецирующими плоскостями

1.4. Построение линии пересечения поверхности проецирующими плоскостями

Для решения этой задачи необходимо понимать, что линия пересечения поверхности с плоскостью есть множество точек, принадлежащих одновременно и поверхности и плоскости, а, следовательно, эта линия есть плоская кривая, все точки которой принадлежат поверхности.

В случае если плоскость проецирующая, линия пересечения совпадает с прямой, в которую проецируется плоскость, и находится в пределах очерка поверхности. Следовательно, одна проекция линии пересечения поверхности с плоскостью известна. Для нахождения второй проекции линии пересечения поверхности с плоскостью используется условие принадлежности точек этой линии поверхности, т.е. решается задача по нахождению недостающей проекции точки, лежащей на поверхности.

1.4.1.Сечение призмы проецирующей плоскостью

Если призма прямая, т.е. ребра призмы перпендикулярны плоскости проекций, то проекции линии пересечения определены сразу, т.к. одна проекция совпадает с проекцией плоскости, а вторая — совпадает с основанием призмы (рис.12).

Сечение проецирующей плоскостью

1.4.2.Сечение пирамиды проецирующей плоскостью

Дана пирамида, в основании которой лежит треугольник. Эта пирамида пересекается с проецирующей плоскостью. Одна проекция линии пересечения известна — она совпадает с прямой, в которую проецируется плоскость. В сечении получается треугольник, вершины которого лежат на ребрах пирамиды, а, следовательно, найти недостающие проекции вершин просто, как точки, лежащие на прямой (рис.13).

1.4.3. Сечение цилиндра проецирующей плоскостью

Дан прямой цилиндр, он пересекается с проецирующей плоскостью. Цилиндр- это поверхность, которая на одну из плоскостей проекций проецируется в окружность, т.е. в линию. Это обстоятельство упрощает решение, т.к. любая точка, лежащая на поверхности цилиндра, проецируется на окружность, а, следовательно, проекции линии пересечения цилиндра с плоскостью известны сразу — одна проекция совпадает с проекцией плоскости, а вторая- с окружностью, в которую проецируется цилиндр (рис. 14).

1.4.4. Сечение конуса проецирующей плоскостью

Дан прямой круговой конус, т.е. конус, у которого ось вращения перпендикулярна основанию. Конус пересекается с проецирующей плоскостью. Одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией прямой, в которую проецируется плоскость. Вторую проекцию линии пересечения ищем из условия принадлежности точек конусу.

Если точка принадлежит конусу, то через неё можно провести линию, лежащую на конусе. Самая простая линия, принадлежащая конусу — это окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Следовательно, чтобы найти точку на конусе, надо:

1. через известную проекцию точки провести поперечное сечение конуса плоскостью. В сечении получится окружность, радиус которой известен — расстояние от оси конуса до очерковой образующей,

2.на горизонтальной проекции конуса построить окружность данного радиуса и по линии связи найти, недостающую проекцию точки (рис. 15).

найти точку на конусе

В зависимости от того, как проходит плоскость по конусу, в сечении будет получаться:

1) эллипс- рис. 16, 2) парабола- рис. 17, 3) гипербола- рис. 18, 4) треугольник- рис. 19.

Прохождение плоскости по конусу

1.4.5. Сечение сферы проецирующей плоскостью

Дана сфера, которую пересекает проецирующая плоскость. Одна проекция линии пересечения известна — она совпадает с прямой, в которую проецируется плоскость. Вторую проекцию линии находят из условия принадлежности её точек сфере.

Сфера- это особая поверхность, в любом сечении которой лежит окружность. Правда в зависимости от её расположения по отношению к плоскостям проекций она может проецироваться и в окружность, и в эллипс. Поэтому, для нахождения точки на поверхности сферы используем поперечное сечение сферы, которое параллельно одной из плоскостей проекций. Радиус сечения равен расстоянию от оси сферы до очерка. Нахождение недостающей проекции точки проводят аналогично нахождению точки на конусе (рис. 20).

Нахождение недостающей проекции точки

1.5. Построение линии пересечения геометрического тела плоскостью

Рассмотрим решение задачи с учетом вышеприведенного теоретического материала.

Решение задачи начинаем проводить в следующем порядке:

1.Соединив точки, задающие плоскость, получаем плоскость, заданную треугольником.

2.Проводим преобразование плоскости в проецирующую.

3. В данное преобразование забираем геометрическое тело.

4.В системе плоскостей проекций П1 и П4 решаем задачу по построению линии пересечения геометрического тела, заданного несколькими поверхностями, с проецирующей плоскостью.

В результате на плоскости проекций П1 получим проекцию линии пересечения. Далее необходимо построить фронтальную проекцию линии пересечения. Для этого поочередно строим фронтальные проекции точек сечения из условия преобразования проекций заменой плоскостей. А именно, расстояние от проекции А4 до оси Х2 равно расстоянию от проекции А2 до оси проекций Х1 (рис. 21).

построение фронтальные проекции точек сечения

Все построения надо проводить аккуратно и обязательно обозначать все получаемые точки построения. В противном случае можно легко запутаться. Желательно сначала построить все на черновике и только затем определить, как расположить формат А3, на котором будет проводиться дальнейшее решение задачи, а, именно, построение натурального вида сечения.

Натуральный вид фигуры, полученной в сечении, необходимо строить с помощью замены плоскостей проекций. Построение проводим на свободном поле чертежа.

1.6. Построение натурального вида сечения

Для построения натурального вида сечения надо провести второй этап преобразования плоскостей проекций, а, именно, заменим плоскость проекций П1 на новую горизонтальную плоскость проекций П5, которую выберем перпендикулярно плоскости П4 и параллельно сечению. Для этого новую ось проекций Х3 выберем параллельно прямой, в которую спроецировалось сечение.

Далее необходимо построить новые фронтальные проекции всех точек сечения из условия, что при этом преобразовании сохраняются расстояния от горизонтальных проекций точек до оси Х2. Эти расстояния надо откладывать по перпендикулярам от оси Х3. Для того чтобы сократить эти расстояния, поступают следующим образом:

1. На горизонтальной проекции сечения проводят ось симметрии, которая параллельна оси проекций Х3.

2. На свободном поле чертежа проводят ось симметрии будущего сечения, параллельно оси проекций Х3.

3.Через проекции каждой точки сечения с плоскости П4 проводят перпендикуляры к оси Х3.И на них откладывают расстояния относительно оси симметрии, которые берут с горизонтальной проекции (рис. 22).

В результате на плоскости П5 получают натуральную величину сечения. Все эти преобразования можно увидеть на рисунке 22.

натуральная величина сечения

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ № 4

Условие задания сформулировано следующим образом:

Построить проекции линии пересечения двух поверхностей. Выполнить развертку одной из поверхностей, на которой найти все точки линии пересечения.

2.1. Пересечение поверхностей

Пересечение двух поверхностей между собой происходит по линии, которую называют линией пересечения. Множество точек, образующих эту линию, принадлежат одновременно обеим пересекающимся поверхностям.

Вид или форма этой линии зависит от того, какого вида поверхности пересекаются между собой:

1) если пересекаются гранные поверхности (пирамиды и призмы), то линия пересечения есть ломаная пространственная, состоящая из отрезков прямых,

2) если пересекаются гранная поверхность с поверхностью вращения (цилиндр с призмой), то линия пересечения есть пространственная, состоящая из плоских кривых,

3) если пересекаются две поверхности вращения (конус с цилиндром), то линия пересечения есть пространственная кривая линия.

При построении линии пересечения поверхностей надо искать точки общие у поверхностей. Существует множество способов отыскания таких точек.

Рассмотрим основные из них:

1) простейшее расположение одной из поверхностей,

2) метод вспомогательных секущих плоскостей,

3) метод вспомогательных секущих концентрических сфер.

2.1.1. Пересечение поверхностей, одна из которых занимает простейшее положение

Простейшим положением поверхности является положение, при котором поверхность проецируется на плоскость проекций в линию. В этом случае одна из проекций линии пересечения поверхностей известна: это часть линии, в которую проецируется одна из поверхностей, заключенная в пределах проекции другой поверхности. Например, если рассматривать пересечение цилиндра прямого кругового с конусом, то проекцией линии пересечения их является часть окружности, в которую проецируется цилиндр, заключенная в пределах проекции конуса (рис. 23).

пересечение цилиндра с конусом

Вторую проекцию линии пересечения строят по точкам из условия принадлежности точек линии пересечения второй поверхности, например, если рассматривать предыдущий пример, то поверхности цилиндра (рис.24).

Пересечение конуса и цилиндра

2.1.2.Метод вспомогательных секущих плоскостей

Для построения линии пересечения двух поверхностей часто применяют метод вспомогательных секущих плоскостей. Смысл этого метод заключается в том, что вводят дополнительную секущую плоскость, которая пересекает обе поверхности. Затем строят линии пересечения обеих поверхностей секущей плоскостью. Точка пересечения этих линий и есть общая точка этих поверхностей. Пересекая поверхности рядом дополнительных плоскостей, получают множество точек, общих для пересекающихся поверхностей.

Как выбрать положение или вид этих вспомогательных плоскостей?

Дополнительные плоскости подбирают таким образом, чтобы они в пересечении с поверхностями давали простые линии пересечения, например, окружности или прямые. Кроме того, эти линии при проецировании на плоскости проекций, должны проецироваться в натуральную величину. Для этих целей подходят обычно плоскости уровня. Рассмотрим на примере работу с одной плоскостью, которую выберем перпендикулярно оси вращения конуса (рис.25).

Плоскость перпендикулярно оси вращения конуса

При решении задач по построению линии пересечения поверхностей необходимо находить характерные точки линии пересечения. Эти точки, как правило, являются точками пересечения очерковых образующих, если поверхности имеют общую ось симметрии, как в примере, рассмотренном на рис.25. Так как эти точки лежат на очерке (точки С и К), то их горизонтальные проекции лежат на оси симметрии поверхностей (рис.26).

характерные точки линии пересечения

2.1.3. Метод вспомогательных концентрических сфер

Метод вспомогательных секущих концентрических сфер можно применять только при наличии следующих условий:

1) пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения,

2) оси вращения этих поверхностей пересекаются,

3) пересекаясь, оси образуют плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций.

Исходя из этого, решение задачи надо начинать с проверки выполнения всех этих условий.

Метод вспомогательных секущих концентрических сфер основан на том, что если поверхность вращения пересечь секущей сферой, центр которой лежит на оси вращения поверхности, то линия пересечения этих поверхностей есть окружность, центр которой лежит на оси вращения поверхности. Причем, эта окружность лежит в плоскости параллельной одной из плоскостей проекций, а следовательно, на нее проецируется в натуральную величину, а на другую плоскость проекций проецируется в прямую, соединяющую точки пересечения очерков поверхностей (рис.27).

Метод вспомогательных секущих концентрических сфер

Если поверхности удовлетворяют вышеперечисленным требованиям, то решение начинают с выбора первой секущей сферы. Центр ее располагают в точке пересечения осей поверхностей. Радиус первой сферы подбирают таким образом, чтобы она касалась большей из поверхностей. Тогда линия касания является окружностью, а другую поверхность сфера пересечет по окружности. Точка пересечения этих окружностей и есть общая точка поверхностей (рис.28).

общая точка поверхностей

Постепенно увеличивая радиус сферы, находят точки пересечения окружностей, т.е. множество точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей (рис.29).

точки пересечения окружностей

2.1.4. Заключение по первой части задания №4

Рассмотренные выше задачи должны продемонстрировать сложность решения задачи по построению линии пересечения поверхностей. Решение усложняется еще и тем, что для каждого варианта студентам предложены различные задачи и подобрать способ решения их довольно сложно. Отсюда совет — при выполнении задания №4 необходимо посоветоваться с преподавателем и только после этого приступать к решению задачи.

2.2. Построение разверток поверхностей

Вторая часть задачи №2 состоит из построения развертки одной из пересекающихся поверхностей с нанесением на ней точек линии пересечения. Выбор развертываемой поверхности зависит от желания студента. Но необходимо учесть, что не стоит разворачивать сферу или тор. Лучше развернуть гранную поверхность или цилиндр, или конус.

2.2.1. Развертка призмы

Развертка призмы представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте призмы, а длина равна периметру основания призмы. Если призма прямая, то построение развертки выполняется просто, т.к. на чертеже есть натуральная величина и основания призмы и ее высота (рис.30).

Развертка призмы

2.2.2. Развертка пирамиды

Чертеж пирамиды и построение ее развертки показаны на рисунке 31. Из чертежа видно, что натуральная величина основания пирамиды совпадает с горизонтальной проекцией основания пирамиды, а вот ребра пирамиды не проецируются на плоскости проекций в натуральную величину. Следовательно, для построения развертки надо построить сначала натуральную величину ребер пирамиды. Можно воспользоваться нахождением натуральной величины отрезка с помощью прямоугольного треугольника. Причем если рассматривать ребра пирамиды как отрезки, то для всех ребер пирамиды разница координат Z одинакова и равна высоте пирамиды. Поэтому, чтобы найти величину ребра пирамиды, достаточно отложить величину горизонтальной проекции ребра по оси Х , используя высоту пирамиды как катет прямоугольного треугольника, тогда гипотенуза этого треугольника и есть натуральная величина ребра.

Развертка пирамиды есть треугольники, являющиеся натуральной величиной боковых граней пирамиды и ее основания (рис.31).

Развертка пирамиды

Точку на поверхности пирамиды надо искать из условия принадлежности точки плоскости. Следовательно, через точку надо провести прямую, лежащую в плоскости треугольника, построить ее на развертке и на ней найти саму точку (рис.32).Причем прямую надо проводить так, чтобы ее можно было просто построить на развертке, например, через вершину треугольника на основание.

Построение развертки пирамиды

2.2.3. Развертка цилиндра

Развертка боковой поверхности цилиндра есть прямоугольник, высота которого есть высота цилиндра, а длина равна длине окружности основания цилиндра. Для того чтобы не считать длину окружности основания цилиндра и для упрощения нахождения в дальнейшем точек на поверхности, применим метод разбивки основания цилиндра на равное количество частей и чем больше это количество, тем точнее будет построение, т.к. длину дуги будем заменять длиной хорды, соединяющей концы дуги (рис.33).

Развертка цилиндра

2.2.4. Развертка конуса

Развертка боковой поверхности конуса есть сектор круга, радиус которого равен натуральной величине образующей конуса. Угол этого конуса можно рассчитать по формуле, но это непрактично, т.к. при построении развертки подразумевается то, что надо будет искать точки на поверхности. Поэтому в качестве ограничения сектора лучше использовать крайние точки, лежащие на основании сектора, т.е. на дуге. Для этого надо разбить основание конуса на равные части аналогично построению развертки цилиндра и, заменяя длину дуги длиной хорды, отложить необходимое количество отрезков по дуге, радиус которой равен длине образующей конуса (рис.34). На этом же рисунке показано нахождение точки на поверхности конуса. Для нахождения точки надо через нее провести образующую. Найти основание образующей, найти на развертке это основание, через него провести образующую на развертке и на ней отложить расстояние от точки до вершины конуса. Причем это расстояние находят на чертеже. Для этого фронтальную проекцию точки переносят на очерковую образующую с помощью горизонтальной линии и тогда расстояние от точки до вершины конуса замеряют по очерковой образующей.

Развертка конуса

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном методическом пособии рассмотрены приемы решения задач по теме поверхности. Решение необходимо проводить сначала на черновике большого формата для выяснения того, как лучше расположить чертеж в чистовом варианте. Желательно, прежде чем оформлять решение, показать черновик преподавателю и только после этого проводить оформление.