Замена плоскостей

ЗАКАЗАТЬ выполнение чертежей по начертательной геометрии

.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИИ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИАССКИЙ ФИЛИАЛ

МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Бережко Л.Н.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для студентов очной формы обучения по выполнению задания №2

«Решение метрических задач методом замены плоскостей проекций»

(курс начертательной геометрии)

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1.ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЗАДАЧ 4

1.1. Задача №1 4

1.2. Задача №2 5

1.3. Задача №3 7

1.4. Задача №4 10

1.5. Выводы 11

2. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ 11

2.1. Задача по построению линии пересечения плоскостей 11

2.2 Построение ортогональной проекции треугольника на плоскость параллелограмма 12

2.3. Построение плоскости, параллельной плоскости параллелограмма 13

2.4. Построение натуральной величины высоты параллелограмма 15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17

ВВЕДЕНИЕ

В данном методическом пособии разобрано выполнение задания №2 «Решение метрических задач методом замены плоскостей проекций». Это задание состоит из 4 задач. Задачи сформулированы следующим образом:

1.построить проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС и плоскости параллелограмма KLMN;

2. построить ортогональную проекцию плоскости треугольника на плоскость параллелограмма;

3.построить геометрическое место точек, удаленное от плоскости параллелограмма на расстоянии 40 мм, площадь которого в 2 раза меньше площади параллелограмма;

4. определить натуральную величину высоты параллелограмма.

Необходимо отметить, что условие этого задания полностью совпадает с условием задания №1 на тему «Точка. Прямая. Плоскость». Исходные данные также совпадают, заданы координаты точек А, В, С, K, L, M.

Разница между этими заданиями заключается в методе решения задач. Во втором задании задачи решаются с использованием метода замены плоскостей проекций. Суть этого метода и принципы решения задач этим методом подробно разобраны в методическом пособии «Решение метрических задач методом замены плоскостей проекций».

Целью данной работы является демонстрация простоты решения задания №1 с использованием метода замены плоскостей проекций. Следовательно, для успешного решения задания студенту необходимо освоить не только теоретическую часть темы «Точка. Прямая. Плоскость», но и сам метод замены плоскостей проекций.

1.ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЗАДАЧ

Разберем частные случаи решения вышеперечисленных задач и увидим, что же их объединяет между собой.

1.1. Задача №1

Построение линии пересечения двух плоскостей значительно упрощается, если одна из плоскостей является проецирующей, т.е. перпендикулярной одной из плоскостей проекций. Проецирующие плоскости проецируются в прямую на плоскость проекций, которой они перпендикулярны. Следовательно, любая прямая, принадлежащая плоскости, проецируется в ту же прямую, что и плоскость.

Исходя из этого, можно утверждать, что если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая, то одна проекция линии пересечения известна – она совпадает с прямой, в которую проецируется плоскость.

В задании необходимо построить проекции линии пересечения плоскости треугольника и плоскости параллелограмма. Если параллелограмм проецируется на плоскость проекций в прямую, то вторую проекцию линии пересечения определим из условия принадлежности ее плоскости треугольника (рис.1).

линия пересечения плоскости треугольника и плоскости параллелограмма

1.2. Задача №2

Построение ортогональной проекции треугольника на плоскость параллелограмма сводится к построению ортогональной проекции точки на плоскость, т.е. каждая вершина треугольника проецируется на плоскость параллелограмма, а в результате получается проекция треугольника.

Ортогональная проекция точки на плоскость определяется просто, если плоскость является проецирующей, т.е. она проецируется в прямую на плоскость проекций. Сама же ортогональная проекция точки на плоскость есть точка пересечения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость, с этой плоскостью. Если плоскость проецирующая, то перпендикуляр является прямой уровня, у которой одна проекция перпендикулярна прямой, в которую проецируется плоскость, а другая проекция параллельна оси проекций. Сама же ортогональная проекция точки находится просто (рис.2)

ортогональная проекция точки

1.3. Задача №3

В этой задаче надо построить геометрическое место точек, равноудаленных от плоскости параллелограмма на расстоянии 40 мм, причем площадь его в два раза меньше площади параллелограмма. Прежде надо отметить, что это геометрическое место точек есть плоскость, удаленная от параллелограмма на расстоянии 40 мм и параллельная ему, а т.к. площадь его в два раза меньше площади параллелограмма, то это треугольник, две стороны, которого равны и параллельны сторонам параллелограмма.

Для решения этой задачи надо найти точку в пространстве, удаленную от параллелограмма на расстоянии 40 мм, а затем в ней строить плоскость треугольника. Расстояние от плоскости откладывают по перпендикуляру. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна горизонтали и фронтали плоскости. Если плоскость проецирующая, то перпендикуляр к плоскости провести просто, т.к. одна из главных линий плоскости есть прямая проецирующая, а сам перпендикуляр есть прямая уровня. Следовательно:

1) одна проекция его перпендикулярна прямой, в которую проецируется плоскость, а другая проекция параллельна оси Х;

2) т.к. перпендикуляр есть прямая уровня, то по нему можно откладывать расстояния (рис.3).

найти точку в пространстве, удаленную от параллелограмма на расстоянии 40 мм

Когда точка найдена, в ней строят плоскость треугольника, стороны которого равны и параллельны сторонам параллелограмма (рис.4).

построить плоскость треугольника, стороны которого равны и параллельны сторонам параллелограмма

1.4. Задача №4

Построение натуральной величины параллелограмма проводится просто, если есть натуральная величина самого параллелограмма. Параллелограмм проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. В этом случае параллелограмм на вторую плоскость проекций проецируется в прямую, т.к. он ей перпендикулярен, и эта прямая располагается параллельно оси Х (рис.5).

Построение натуральной величины параллелограмма

1.5. Выводы

Решение разобранных задач показывает, что оно проводится просто, если плоскость занимает частное положение, а именно проецирующее. В задании плоскости заданы в общем виде, т.е. плоскости общего положения. Метод замены плоскостей проекций позволяет преобразовать исходные данные, т.е. свести решение задач к частному виду.

Так как в задачах решение необходимо проводить относительно плоскости параллелограмма ( в 1 задаче – линия пересечения плоскостей, во 2 задаче – ортогональная проекция на плоскость параллелограмма, в 3 задаче – плоскость , параллельная параллелограмму, в 4 задаче – высота параллелограмма), то надо преобразовать параллелограмм общего положения в проецирующий для первых трех задач и далее в параллелограмм уровня для решения последней задачи. Исходя из этого, решение можно проводить на одном чертеже. Для простоты объяснения в методическом пособии разберем выполнение задач на отдельных чертежах.

2. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

2.1. Задача по построению линии пересечения плоскостей

Для решения этой задачи преобразуем плоскость параллелограмма в проецирующую. Для этого проведем в параллелограмме главную линию – горизонталь или фронталь. Выбор линии определяется заданным чертежом и наличием вокруг него свободного пространства. В примере удобно построить горизонталь.

Выбираем ось проекций Х перпендикулярно главной линии параллелограмма ( в примере – горизонтали). Получили новую систему плоскостей проекций П1-П4.

Строим в системе П1-П4 параллелограмм и треугольник, используя для этого координаты Z точек. Если построения проведены верно, то параллелограмм спроецируется в прямую на плоскость П4. Далее проводим решение задачи в частном виде в системе плоскостей проекций П1-П4.

Для того чтобы вернуться к исходному чертежу, надо найти проекции точек по принадлежности их сторонам треугольника. Пример решения задачи показан на рисунке 6.

2.2 Построение ортогональной проекции треугольника на плоскость параллелограмма

Для решения этой задачи преобразуем плоскость параллелограмма в проецирующую, т.е. выполним построение, проведенное в предыдущей задаче. Следовательно, решение этой задачи можно рассматривать, как продолжение предыдущей (смотри рис.6).

Продолжим решение на рис.6. Для нахождения ортогональной проекции треугольника на плоскость параллелограмма найдем ортогональную проекцию каждой вершины треугольника на параллелограмм. Для этого проведем из вершин треугольника перпендикуляры на плоскость параллелограмма в системе плоскостей проекций П1-П4. Точка пересечения перпендикуляров с прямой, в которую проецируется параллелограмм, и есть ортогональная проекция вершин на плоскость параллелограмма.

Эти перпендикуляры являются прямыми уровня, следовательно на плоскость проекций П1 они проецируются в прямые, параллельные оси Х (П1-П4). Из этого условия находим горизонтальную проекцию ортогональных проекций.

Фронтальную проекцию найдем по линиям связи, откладывая от оси Х (П1-П2) расстояние от соответствующих проекций до оси Х (П1-П4).

Все построения приведены на рисунке 7.

2.3. Построение плоскости, параллельной плоскости параллелограмма

В задаче №3 надо построить плоскость треугольника, параллельную плоскости параллелограмма на расстоянии 40 мм.

Для решения задачи преобразуем плоскость параллелограмма в проецирующую. Для этого выберем новую ось проекций ( П1-П4) перпендикулярно горизонтали параллелограмма, как это было сделано в предыдущих задачах. В этой задаче работаем только с параллелограммом.

Сначала найдем точку, удаленную от параллелограмма на расстоянии 40 мм. Для этого восстановим перпендикуляр длиною 40 мм из одной из вершин параллелограмма, например из К ( построение проведем в системе плоскостей проекции П1-П4). Получим проекцию точки, расположенной от параллелограмма на расстоянии 40 мм – R4.

Так как перпендикуляр есть отрезок уровня, то на плоскость проекций П1 он спроецируется параллельно оси Х (П1-П4). Из этого условия найдем проекцию точки R (R1).

Затем найдем проекцию R2 из условия, что она отстоит от оси Х (П1-П2) на том же расстоянии, что R4 от оси Х (П1-П4).

Все эти построения приведены на рисунке 8.

2.4. Построение натуральной величины высоты параллелограмма

Для определения натуральной величины высоты параллелограмма надо построить его натуральную величину. Это сделать просто, если преобразовать параллелограмм проецирующий ( на рис.8 параллелограмм уже стал проецирующим) в параллелограмм уровня. Для этого надо ввести новую плоскость проекций П5, параллельно плоскости параллелограмма. Для чего проведем новую ось проекций параллельно прямой, в которую проецируется параллелограмм. Получим систему плоскостей проекций П4-П5.

На плоскость П5 спроецируем вершины параллелограмма, учитывая то, что расстоянии от новых проекций до оси Х (П4-П5) равно расстоянию от горизонтальных проекций до оси Х (П1-П4).

В результате на плоскости П5 получим параллелограмм в натуральную величину. На этом параллелограмме из вершины L (L5) опустим перпендикуляр на сторону KN (K5N5). Это и есть натуральная величина высоты параллелограмма. Для нахождения проекций высоты воспользуемся условием принадлежности точки О стороне KN.

Все эти построения приведены на рисунке 9.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном методическом пособии разобрано решение задач с помощью метода замены плоскостей проекций. Решение показало, что этот метод позволяет решать множество задач и решение обладает наглядностью, так как проводится на свободном поле чертежа. В результате не происходит наложения построения. Все вышеперечисленные задачи в работе предложено решать на одном чертеже, но для студентов удобнее проводить решение сначала для каждой задачи на отдельном чертеже, а затем их можно собрать на один чертеж.