Учебник по начертательной геометрии с примерами задач

Цена 600 рублей один чертеж формата А3.

Кнопка оформить заказ
1. Предмет начертательной геометрии Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры при помощи построения их изображений на плоскости, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоском чертеже. Построение чертежей производится по одному из способов проецирования. Эти способы излагает и обосновывает начерта­тельная геометрия. В связи с этим предметом начертательной геометрии являются: 1. Создание методов изображения геометрических фигур на плоскости 2.Изучение геометрических свойств фигур по их изображени­ям (чтение чертежа) 3. Разработка способов графического решения на плоскости различных пространственных задач, относящихся к про­странственным фигурам (позиционных и метрических задач) Методы проекций. Виды проецирования Для построения изображений геометрических фигур на плоскости пользуются методом проецирования. Проекция — это отображение геометрической фигуры на плоскость проекций. Рассмотрим на примере аппарат проецирования. Пусть даны точка S -центр проецирования, плоскость П — плоскость проекций и точка А — геометрический объект, изображение которого нужно построить (рис.1). Для построения изображения (проекции) точки А строят проецирующую прямую SA и определяют точку А’ пе­ресечения прямой SA с плоскостью П. Точку А’ называют проек­цией точки А. В зависимости от расположения центра проецирования S и плоскости проекций П проецирование может быть центральным, если центр проецирования расположен на фиксированном рас­стоянии от плоскости, или параллельным (частный случай цен­трального), если центр проецирования удален от плоскости про­екций в бесконечность. При параллельном проецировании обычно вместо конкрет­ного центра проецирования S задают направление проецирова­ния. Так как проецирующие линии (лучи) в этом случае парал­лельны, то они составляют с плоскостью проекций один и тот же угол. Если этот угол α не равен 90°, то такое параллельное про­ецирование называется косоугольным. В случае, когда проеци­рующие лучи перпендикулярны плоскости проекции (т.е.α=90°) параллельное проецирование называется прямоуголь­ным, или ортогональным.
Таким образом, прямоугольное проецирование является ча­стным случаем параллельного проецирования и является основ­ным методом построения чертежей. Так как одна проекция объекта проецирования (точки, прямой, плоскости или поверхности) не определяет его положения в про­странстве, для определения положения объекта необходимо иметь не менее двух его проекций. С этой целью строят прямо­угольные проекции объектов на две или три взаимно перпенди­кулярные плоскости проекций (рис.2). 3. Инвариантные свойства ортогонального (прямоугольно­го) проецирования При параллельном ортогональном проецировании в общем случае нарушается метрическое равенство между оригиналом и его проекцией, хотя проекция сохраняет некоторые свойства оригинала, которые называются инвариантными (неизменяемы­ми). 1. Проекция точки есть точка:2. Проекция прямой на плоскость есть прямая:3. Если точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии:4. Проекции взаимно 11прямых также взаимно 11, а отноше­ние отрезков таких прямых равно отношению их 11 проек­ций:
Точка пересечения проекций пересекающихся прямых явля­ется проекцией точки пересечения этих прямых:
Плоская фигура, параллельная плоскости проекции, проеци­руется на эту плоскость без искажений.
Плоский прямоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин. Если плоскость многоугольника параллельна направлению проецирования, то она проецируется в прямую линию.
Параллельный перенос оригинала или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекций оригинала.
9. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна ка­кой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажений. 4. Точка Прямоугольной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекции. В качестве плоскостей проекций берут три взаимно перпен­дикулярные плоскости Пь П2, П3 (рис. 3). Плоскость П1 называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П2 называется фронтальной плоскостью проекций. Плоскость П3 называется профильной плоскостью проекций. Пересечение горизонтальной плоскости с фронтальной принима­ется за ось X. Пересечение горизонтальной плоскости с профильной — ось Y. Пересечение фронтальной плоскости с профильной — ось Z. Место пересечения трех осей обозначается т. О и называется центром или началом координат. Для точки А (рис. 4) проецирующие линии: Остальные линии — это линии связи проекций. Проекция на П1 называется горизонтальной проекцией, проекция на П2 -фронтальной проекцией, на П3 — профильной. Для удобства и простоты пользования при решении задач от трехгранника образованного плоскостями П1 П2 и П3, необходи­мо перейти к комплексному чертежу. Комплексным чертежом называется чертеж, составленный из нескольких связанных между собой проекций геометрического объекта. Для получения комплексного чертежа следует совместить плоскость П1 и П3 с плоскостью П2, вращая их вокруг соответст­вующих осей (рис.5). Для этого трехгранник, образованный плоскостями П1 П2, П3 разрезать вдоль оси Y. При этом убирается точка А и проецирующие линии. Ось X на комплексном чертеже обозначается Х12, т.к. она принадлежит одновременно двум плоскостям проекции: П1 и П2. Ось Z обозна­чается Z23, т.к. она принадлежит П2 и П3. Ось Y на П1 обознача­ется Y1 на П3 — Y3. Центр координат на комплексном чертеже обозначается О123. Фронтальная и горизонтальная проекции точки располага­ются на одной вертикальной линии связи: A,A2 X12. Фронтальная и профильная проекция точки расположены на одной линии связи: A2A3 Z23. При наличии двух проекций точки, третью проекцию можно найти с помощью прямой К0, которая называется постоянной прямой комплексного чертежа. Определять пространственное положение точки можно при помощи ее прямоугольных координат. Координатами точки являются числа, выражающие рас­стояние от точки до трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекции П1 П2, П3. Расстояние от точки А до профильной плоскости проекции П3, называется широтой (Ха): Xa=AA3=A2A23=A1AI3 Широта точки читается на плоскостях проекций П1 и П2. Расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций П2, называется глубиной (Ya): Ya=А А2=А1А12=А3 А23 Глубина точки читается на плоскостях проекций П1 и П3. Расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проек­ций П1 называется высотой (Za): Высота точки читается на плоскости проекций П2 и П3. При прямоугольном проецировании возможны случаи, когда две точки имеют одинаковую координату. В этом случае на двух плоскостях проекций они лежат на одной линии связи, а на третьей плоскости проекций — проекции этих точек совпадают (одна из них закрывается другой). Такие точки называются кон­курирующими точками. Конкурирующие точки могут быть на П1 П2 и П3. В каждом из этих случаев важно знать условия видимости конкурирующих точек. Итак: -из двух горизонтально конкурирующих точек на П1 видна та, которая выше (у которой больше высота). -из двух фронтально конкурирующих точек на П2 видна та, которая ближе (у которой больше глубина). -из двух профильно конкурирующих точек на П3 видна та, у которой больше широта. 5. Прямая Прямая определяется в пространстве точками А и В, а её проекции на плоскости определяются проекциями этих точек. Если прямая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то такая прямая называется прямой об­щего положения. Прямая общего положения может быть восходящей, если по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, или нисходя­щей — если по мере удаления от наблюдателя опускается вниз. О положении отрезка АВ в пространстве можно судить по координатам точек А и В до плоскости проекций, но можно оп­ределить разность этих расстояний, т.е. можно судить о располо­жении точек А и В относительно друг друга (рис. 6). Тогда рас­сматриваются разности координат: разность широт ХА-ХВ, раз­ность глубин Ya-YВ, разность высот Za-ZB. Такие координаты на­зываются относительными. При построении такого чертежа по­ложение двух проекций одной из точек выбирается произвольно (А1 и А2 на одной вертикальной линии связи), проекции осталь­ных точек строят, учитывая известные разности координат, кото­рые могут быть положительными или отрицательными (рис.7).
Такой чертеж называется безосным. На безосном чертеже т. А выполняет функцию т. О — начала координат в осной систе­ме, от которой ведётся отсчет разности координат для построения проекций других точек. Пример. Построить проекции отрезка АВ, если известны координаты т. В, вычисленные относительно т. А. Положение т. В определяется заданнымиразностямикоординат: | ХВ-Ха ], | YB-YаРешение.
Произвольно задаем положение т. А (А1 А2) на вертикаль­ной линии связи.
Проводим вторую вертикальную линию связи для т. В, учи­тывая ХВ-ХА . Если эта разность положительная, величина её откладывается влево от линии связи A2A1, если разность отрицательная, то вправо.
Фронтальная проекция т. В (В2) определяется по величине
ZB-Zaв зависимости от положительной или отрицатель­ной её величины (если величина положительная, тоZB-Za откладывается вверх, если отрицательная — вниз). 4.Горизонтальная проекция т. В (В1) определяется по величине YB-YА с учетом знака разности глубин (отрицательная величина разности глубин откладывается вверх, положи­тельная — вниз). 5. Соединив одноименные проекции А2В2 и A1B1 прямыми ли­ниями, получим искомые проекции АВ. Прямые в пространстве могут занимать разные положения относительно плоскостей проекций П1 П2, П3. Прямая, расположенная параллельно какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня. На комплексном чертеже различают три линии уровня (табл. 1): 1) горизонтальная прямая уровня (горизонталь) — прямая, па­раллельная П1. Обозначается обычно буквой h. Все точки горизонтали име­ют равные высоты. На П1 прямая h проецируется в натуральную величину (т.е. без искажений). Проекция горизонтали на П2 пер­пендикулярна вертикальным линиям связи. Угол наклона гори­зонтали к плоскости П2 (β) проецируется на П[ без искажений; 2) фронтальная прямая уровня (фронталь) — прямая, парал­лельная П2 Обозначается обычно f (f1 f2)- Все точки фронтали имеют равные глубины. На П2 прямая f проецируется в натуральную величину. Проекция фронтали на П1 перпендикулярна верти­кальным линиям связи. Угол наклона фронтали к плоскости П1 (α) проецируется на П2 без искажений; 3) профильная линия уровня — прямая, параллельная П3. Обозначается буквами EF (E1F1 E2F2, E3F3). Все точки про­фильной прямой имеют равные широты. На П1 и П2 проекция профильной прямой лежат на одной вертикальной линии связи. На П3 профильная прямая проецируется в натуральную величи­ну, на П3 без искажения проецируются углы наклона прямых к Щ и П2 (а и Р). ТаблицаПрямая, расположенная перпендикулярно какой-либо плос­кости проекций, называется проецирующей прямой. На ком­плексном чертеже различают три проецирующие прямые: 1) горизонтальнопроецирующая прямая — прямая, перпендику­лярная П1. Так как П1 П2 и П3 взаимно перпендикулярны, то прямая, пер­пендикулярная П1 в то же время параллельна П2 и П3. На П1 пря­мая проецируется в точку. На П2 и П3 прямая проецируется в Ha- туральную величину, проекция прямой на П2 и П3 параллельна вертикальным линиям связи; 2) фронталънопроецирующая прямая — прямая, перпендику­лярная П2 и параллельная П1 и П3. На П2 прямая проецируется в точку. На П1 прямая проециру­ется в натуральную величину, а проекция на П1 параллельна вер­тикальным линиям связи. На П3 прямая также проецируется в на­туральную величину, а проекция прямой на П3 параллельна ли­ниям связи; 3) профильнопроецирующая прямая — прямая, перпендикуляр­ная П3 и параллельная П1 и П2. На П3 проецируется в точку, на П1 и П2 проецируется в нату­ральную величину и перпендикулярна вертикальным линиям свя­зи. Таким образом, прямые уровня и проецирующие прямые на комплексном чертеже всегда имеют одну проекцию, равную на­туральной величине отрезка. Несложно также определить угол наклона таких прямых к плоскости проекций. Для определения натуральной величины прямой общего по­ложения и угла наклона её к плоскостям проекций пользуются способом прямоугольного треугольника (рис. 8 а, б, в). Строится прямоугольный треугольник, у которого один ка­тет — это проекция прямой на П1 второй катет — это разность вы­сот точек отрезка. Гипотенуза такого треугольника — это нату­ральная величина отрезка, а угол между проекцией на П1 и нату­ральной величиной — это угол наклона прямой к П1 (α).
Прямоугольный треугольник можно построить и на П2. В этом случае один катет будет проекцией отрезка на П2, второй катет — разность глубин точек отрезка, гипотенуза – натуральная величина. Угол между проекцией на П2 и натуральной величиной — угол наклона прямой к П2 (β). Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися: 1)если две прямые параллельны в пространстве, то на ком­плексном чертеже их одноименные проекции тоже параллельны между собой. Верно и обратное утверждение: если на комплекс­ном чертеже горизонтальные и фронтальные проекции двух пря­мых попарно параллельны, то и прямые в пространстве парал­лельны; 2) если прямые пересекаются в пространстве, то на ком­плексном чертеже их одноименные проекции пересекаются в точке, лежащей на одной линии связи, так как две пересекаю­щиеся прямые в пространстве имеют общую точку; 3)две скрещивающиеся прямые в пространстве не имеют об­щей точки. Поэтому точки пересечения их горизонтальных и фронтальных проекций на комплексном чертеже не лежат на од­ной линии связи. Эти точки являются конкурирующими, приме­няются для определения видимости при построении взаимного положения двух фигур. При пересечении двух прямых образуются углы, которые проецируются на любую плоскость проекций без искажений в случае, если обе прямые лежат в плоскости, параллельной плос­кости проекций. Если две прямые пересекаются под прямым уг­лом, то следует знать, что проецирование прямого угла имеет особое свойство. Если одна из сторон прямого угла параллельна одной из плоскостей проекций, то прямой угол проецируется на эту плос­кость без искажений (инвариантные свойства параллельного про­ецирования).6. Плоскость Проекцией любой плоскости является геометрическое место проекций всех её точек. Если рассматривать плоскость, располо­женную не перпендикулярно ни одной из плоскостей проекций, то её проекции целиком заполняют поля плоскостей проекций П1 П2, П3. Поэтому на комплексном чертеже задаются лишь некото­рые геометрические элементы, определяющие положение задан­ной плоскости в пространстве: 1)три точки, принадлежащие плоскости и не лежащие ни на одной прямой; 2)прямая и точка (не лежащая на прямой); 3)две параллельные прямые; 4)две пересекающиеся прямые; 5)любая плоская фигура (рис.9).Рис.9 При решении задач по начертательной геометрии, связанных с плоскостью, важно знать, в каких случаях прямая принадлежит плоскости. Прямая принадлежит плоскости в двух случаях: если она проходит через две точки, принадлежащие этой плос­кости; если она проходит через точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости. В обоих случаях при задании прямой в плоскости необходи­мо иметь точки, принадлежащие этой плоскости. Поэтому важно знать, в каком случае точка принадлежит плоскости. Точка принадлежит плоскости, если через неё можно про­вести прямую, принадлежащую этой плоскости. В любой плоскости есть прямые, которые называются осо­быми прямыми на плоскости. К таким прямым относятся гори­зонтали плоскости, фронтали плоскости и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Горизонталь плоскости — прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости проекции П1. Фронтальная проекция горизонтали плоскости перпендику­лярна к вертикальным линиям связи и параллельна оси X. Фронталъ плоскости — прямая, принадлежащая плоскости и параллельная плоскости проекций П2.
Горизонтальная проекция фронтали плоскости перпендику­лярна к вертикальным линиям связи и параллельна оси X (рис.10). Линии наибольшего наклона к плоскости проекций — это прямые, лежащие в данной плоскости и образующие с одной из плоскостей проекций наибольший угол. Линия наибольшего наклона к Щ называется линией ската. Линия ската (/) данной плоскости должна быть перпендикулярна к горизонтали (h) этой плоскости (рис. 11а, б). На комплексном
Рис. 10
чертеже горизонтальная проекция линии ската перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости. Линия наибольшего наклона к П2 перпендикулярна к фрон­тали плоскости (рис. 11 в). Её фронтальная проекция перпендику­лярна к фронтальной проекции фронтали плоскости. Как и прямая, плоскость может занимать различные поло­жения относительно плоскостей проекций.Рйс. Па Плоскость, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей проекций — плоскость общего положения. Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проек­ций — проецирующая плоскость. Плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций — плоскость уровня. Всего на комплексном чертеже рассматривается три проеци­рующих плоскости ( рис.12): 1. Горизонтально-проецирующая плоскость — П1. Горизон­тальная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это главный признак горизон­тально-проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция плоскости обладает собирательными свойствами, т.е. проекции всех точек, принадлежащих гори­зонтально-проецирующей плоскости на П1 совпадают с главной проекцией этой плоскости.
-проецирующая плоскость — П2. Фронтальная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это признак фронтально-проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция (про­екция на П2) обладает собирательным свойством, т.е. проек­ции всех точек, принадлежащих фронтально-проецирующей плоскости на П2, совпадают с главной проекцией этой плос­кости.
Профильно-проегщрующая плоскость — Пз- Профильная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это признак профильно-проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция обла­дает собирательным свойством.
Таблица Плоскости уровня, т.е. плоскости параллельные какой-либо плоскости проекций. Так как плоскости проекций взаимно перпендикулярны, то любая плоскость уровня является одновремен­но дважды проецирующей. Если плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то двум другим плоскостям проекций эта же плоскость перпендикулярна. На комплексном чертеже различают три плоскости уровня
Плоскость параллельна П1 но перпендикулярна П2 и П3 — горизонтальная плоскость уровня (одновременно такая плоскостьявляетсяпрофильноифронтально- проецирующей).
Плоскость параллельна П2, но перпендикулярна П1 и П3 — фронтальная плоскость уровня (горизонтально и профиль­но-проецирующая плоскость).
Плоскость параллельна П3, но перпендикулярна П1 и П2 — профильная плоскость уровня (горизонтально и фронтальнопроецирующая плоскость).
Таким образом, каждая плоскость уровня параллельна одной и перпендикулярна двум другим плоскостям проекций, и поэтому плоскости уровня обладают следующими свойствами.
Любая линия или плоская фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется без искажений (в натуральную величину) на ту плоскость проекций, которой параллельна плос­кость уровня.
На две другие плоскости проекций плоскость уровня про­ецируется в прямые линии, которые перпендикулярны соот­ветствующим линиям связи. Плоскости уровня обладают со­бирательными свойствами.
7. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоско­стей Возможны три взаимных расположения прямой и плоскости: прямая может пересекаться плоскостью, может быть парал­лельна плоскости или совпадать с плоскостью. Если прямая пересекается с плоскостью, она имеет с плоско­стью одну (не больше) общую точку. Если прямая параллельна плоскости, то прямая и плоскость не имеют общих точек. Если прямая совпадает с плоскостью, она имеет с плоско­стью как минимум две общие точки. Рассмотрим более подробно случай пересечения прямой с плоскостью. Частный случай пересечения прямой с плоскостью — прямая расположена под прямым углом к плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендику­лярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. Таким образом, если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна к любой горизонтали и фронтали плоско­сти. На комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали; фрон­тальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис.13).
Рис. 13
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна ка­кой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 13а). Из стереометрии известно, что плоскость в перпендику­лярна плоскости Р в двух случаях: если она проходит через прямую / P; если она проходит перпендикулярно к прямой а, принадлежа­щей плоскости Р (рис 13 б). Из стереометрии известно, что плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Пример Через т.К провести плоскость Р(/ т) параллельно плоско­сти 0(/* т*) (решение задачи приведено на рис 1Зв).8. Позиционные задачи Позиционные задачи — задачи на взаимное пересечение гео­метрических образов:
Пересечение линии и поверхности (плоскости) — точка (первая позиционная задача).
Пересечение двух поверхностей (плоскостей)- линия (вторая позиционная задача).
При решении задач №1 и №2 возможны следующие случаи:
Оба геометрических образа являются проецирующими.
Один — проецирующий, другой — общего положения.
Оба — общего положения.
Рассмотрим первую позиционную задачу: пересечение линии и плоскости. Искомый элемент — точка. Случай 1. Прямая и плоскость являются проецирующими. В этом случае проекции точки пересечения уже есть на ком­плексном чертеже. Дополнительные построения для решения та­кой задачи не нужны (рис. 14). Нужен анализ, опирающийся на собирательные свойства проекции образа. Случай 2. Один геометрический образ проецирующий, а дру­гой общего положения. Решается по следующей схеме.
При анализе чертежа должны быть сформулированы соби­рательные свойства проецирующего геометрического об­раза.
Одна проекция общего элемента (т.е. решение задачи) сов­падает с главной (вырожденной) проекцией проецирующего образа. Необходимо выделить и обозначить эту проекцию.
Вторая проекция общего элемента находится по условию принадлежности к образу общего положения.
Определить взаимную видимость образов.
Случай 3. Прямая и плоскость общего положения пересе­каются. Готового решения нет ни на одной из плоскостей про­екции. Поэтому для решения подобной задачи требуется вводить плоскость-посредник.
Схема решения.
Прямая заключается во вспомогательную проецирующую плоскость (посредник).
Плоскость-посредник пересекается с заданной плоскостью по прямой линии, ограничив которую двумя точками М и N, несложно построить недостающую проекцию этой прямой линии, воспользовавшись собирательным свойством про­ецирующей плоскости.
Искомая точка К=/ ABC определяется в пересечении M2N2 и/2.
Последним пунктом определяется видимость заданной пря­мой относительно заданной плоскости.
Видимость определяется при помощи конкурирующих то­чек, и без ее определения задача является нерешенной (рис.15). Рассмотрим вторую позиционную задачу: построение линии пересечения двух плоскостей. При пересечении двух плоскостей так же, как и при пересе­чении прямой и плоскости, возможны следующие случаи:
Рис.17
Обе плоскости проецирующие.
Одна плоскость проецирующая, другая общего положения.
Обе плоскости общего положения.
Рис. 16 Случай 1. Проекции прямой, полученной при пересечении двух плоскостей совпадают с проекциями проецирующих плос­костей на основании их собирательных свойств. Проекции такой прямой уже имеются на комплексном чертеже, следовательно, не требуется никаких дополнительных построений (рис. 16). Случай 2. Задачи на пересечение плоскости общего положе­ния с проецирующей плоскостью решаются по следующей схеме.
Формулируются собирательные свойства проецирующей плоскости.
Одна проекция линии пересечения совпадает с главной про­екцией проецирующей плоскости ( ).
Недостающая проекция линии пересечения строится из ус­ловия принадлежности к плоскости общего положения.
Определяется взаимная видимость (рис 17).
Случай 3. При построении линии пересечения двух плоско­стей общего положения необходимо вводить вспомогательные плоскости (посредники). Так как в результате пересечения полу­чается прямая линия, а любая прямая линия определяется в про­странстве двумя точками, то и посредников требуется не меньше двух. Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей общего положения на примере.
Плоскость Р задана двумя пересекающимися прямыми а и Ь, плоскость Q — двумя параллельными прямыми e и d. Требуется построить линию пересечения плоскостей Р и Q (рис.18). Схема решения.
Пересечем данные плоскости Р и Q вспомогательной гори­зонтальной плоскостью уровня ( 2).
Построим линии пересечении плоскостис заданными плоскостями:
Найдем точку пересечения построенных прямых / n=К. Точка К принадлежит одновременно обеим заданным плос­костям и Р, и Q, следовательно, точка К принадлежит линии пересечения заданных плоскостей.
Вводится вторая вспомогательная горизонтальная плоскость уровняПри помощи плоскости находится вторая точка F, которая принадлежит линии пересечения.
Прямая m – линия пересечения плоскостей P и Q – проходит через точки К и F.B качестве вспомогательных секущих плоскостей (посредников) можно выбирать любые проецирующие плоскости.
9. Способы преобразования чертежа. Основные задачи преобразования.
Задачи, в которых требуется определить метрические величины углов, длин, площадей, называются метрическими задачами. Решение таких задач значительно упрощается, если заданные на исходном чертеже геометрические образы занимают частные положения (т.е. параллельны или перпендикулярны одной из плоскостей проекциий). В случае когда геометрические образы расположены в общем положении, возникает необходимость преобразования комплексного чертежа. Цель преобразования – придать геометрическим образам такое частное положение, которое позволяет упростить решение поставленной задачи. При решении задач наиболее часто применяются два способа преобразования комплексного чертежа: плоскопараллельное перемещение и замена плоскостей проэкций При изучении способа плоскопараллельного перемещения важно уяснить следующие основные положения: 1)плоскости проекций неподвижны, а оригинал перемещается в пространстве; 2)все точки оригинала перемещаются во взаимно параллель­ных плоскостях уровня (каждая в своей плоскости). Если рассматривать плоскопараллельное перемещение пря­мой или плоскости, то важно учитывать, что в процессе переме­щения геометрического образа не изменяется угол его наклона к той плоскости проекций, относительно которой совершается его плоскопараллельное перемещение. Из сказанного следуют основные правила построения ком­плексного чертежа:
Проекция оригинала на плоскости, параллельно которой со­вершается его движение, сохраняет свою форму и величину, изменяя только положение.
Проекции точек оригинала на другой плоскости проекций перемещаются по прямым, перпендикулярным соответст­вующим линиям связи (при этом проекция оригинала на эту плоскость меняет свое положение и форму).
При изучении способа замены плоскостей проекций важно понять, что при этом способе оригинал остается неподвижен, а одна из плоскостей проекций заменяется на новую, перпендику­лярную к незаменяемой плоскости проекций и расположенную частным образом относительно оригинала. При замене одной из плоскостей новой плоскостью расстояния от точек геометриче­ского объекта до незаменяемой плоскости проекций остаются по­стоянными. Следовательно, на комплексном чертеже присутствие осей между двумя заданными плоскостями проекций, а также между вновь введенной плоскостью и той, которая осталась, обя­зательны. Для того чтобы понять, как осуществляется построение на комплексном чертеже при замене плоскостей проекций по отно­шению к объекту, нужно понять, как происходит замена плоско­стей проекций по отношению к точке. Пусть дана точка А (А1А2) в заданной системе плоскостей проекций П1/П2 (рис.19). Перво­начально заменим плоскость П2 на новую плоскость П4 ( ).Помня о том, что линии связи всегда перпендикулярны коорди­натным осям, проводим A1A4 X14. Для построения точки А в П4 замеряем расстояние её до незаменяемой плоскости проекций П1 которое снимаем на П2 (от А2 до Х12). Затем заменяем плоскость П1 на П5 (П5 П4), П4 в данной замене выполняет роль неподвиж­ной (незаменяемой) плоскости. Плоскости П4 и П5 разделяет ось Х45. Для построения точки А в П5 проводим аналогичные рассуж­дения, что и для построения точки в П4, расстояние точки А до незаменяемой плоскости проекций П4 замеряется на П1 и равно расстоянию от А1 до Х14.Изучив и запомнив основы способов плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций, следует научиться решать этими способами основные задачи преобразования ком­плексного чертежа (табл.3 и 4). Таблица 3 Для способов преобразования комплексного чертежа харак­терны следующие преобразования в отношении геометрических объектов:
Прямая общего положения может быть преобразована в ли­нию уровня.
Линия уровня преобразуется в проецирующую прямую.
Плоскость общего положения сначала преобразуется в про­ецирующую плоскость.
Проецирующая плоскость может быть преобразована в плоскость уровня.
Способы преобразования комплексного чертежа применяются при решении следующих задач:
Первая задача — перевод прямой общего положения в пря­мую уровня. Задача решается с целью определения нату­ральной величины отрезка прямой линии и углов её наклона к плоскости проекций.
Вторая задача — перевод прямой уровня в проецирующую прямую. Цель решения задачи заключается: в определении натуральных величин расстояний от точки до прямой, между параллельными прямыми, между скрещивающимися пря­мыми; и в определении натуральной величины двугранного угла (угла между плоскостями).
Третья задача — перевод плоскости общего положения в про­ецирующую плоскость. Область применения задачи — опре­деление натуральной величины углов наклона плоскости к плоскостям проекций, упрощение определения расстояния от точки до плоскости между параллельными плоскостями, упрощение решения задач на взаимное пересечение линии и плоскости, а также пересечения двух плоскостей.
Четвертая задача — перевод проецирующей плоскости в плоскость уровня. Решение необходимо для определения ис­тинного вида плоской фигуры, её метрических размеров и для выполнения различных геометрических построений в плоскости фигуры.
Таблица 4
Научившись решать четыре основные задачи преобразова­ния комплексного чертежа, можно приступить к решению любых метрических задач начертательной геометрии. Все метрические задачи можно разделить на три основные группы: определение расстояний, определение углов, определение натурального вида плоских фигур. Эти задачи имеют широкое распространение при решении практических задач, при проектировании изготовления деталей, сборочных машин и механизмов. 11.Гранные и кривые поверхности11.1. Общие сведения о поверхностях и их изображе­ниях на комплексном чертеже. Точка и линия на поверхности «Поверхность — это след линии, движущейся в простран­стве». Такое определение поверхности дал древнегреческий ма­тематик Эвклид, живший в III-IV веке до н. э. Движущаяся ли­ния называется образующей. Она при движении может сохра­нять или изменять свою форму, подчиняясь какому-либо закону. Закон перемещения образующей включает другие линии, на­зываемые направляющими, по которым скользит образующая при своем перемещении в пространстве, а также характер движе­ния образующей (рис.29). В некоторых случаях одна из направляющих может превра­щаться в точку (рис. 29в) или находиться в бесконечности — ци­линдрическая поверхность. В начертательной геометрии поверхности рассматривают, исходя из кинематики их образования, и поверхность может быть определена как совокупность всех последовательных положений некоторой линии (образующей), перемещающейся в пространст­ве по определенному закону. Сочетание образующих и направляющих поверхности назы­вается ее каркасом. На комплексном чертеже любая поверхность задается своим определителем — совокупностью геометрических элементов задающих поверхность, позволяющих реализовать ки­нематический закон образования поверхности (см. рис. 29) и по­зволяющих построить каждую точкуповерхности Р(n т),
В зависимости от формы образующей и закона ее перемеще­ния в пространстве поверхности делят на две группы: линейчатые и нелинейчатые. Одна и та же поверхность может быть образована по-разному (рис.30). Поверхность цилиндра, например, может быть образована: 1) вращением образующей / вокруг оси i. 2) перемещением окружности к вдоль оси i. 3) вращением вокруг оси i образующей т. Если направляющей будет ломаная линия, состоящая из ряда прямолинейных звеньев, то поверхность цилиндра превращает­ся в поверхность призмы, а поверхность конуса — в поверхность пирамиды. 11.2. Многогранники. Задание на комплексном черте­же. Определение видимости элементов многогран­ников Поверхности, состоящие из ряда плоскостей — граней, на­зываются многогранниками. Образуются перемещением обра­зующей по ломаной линии направляющей. Наибольший практи­ческий интерес представляют пирамиды и призмы. Элементами многогранников являются вершины, ребра, грани (рис.31). О (£, л Рис.31Совокупность всех ребер многогранника называется его сеткой или каркасом. Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его сетки (каркаса). Пирамида образуется перемещением образующей / по лома­ной направляющей т, при этом / закреплена в точке S — верши­не, которая неподвижна. Призма образуется перемещением образующей / по ломаной направляющей т, при этом / остается параллельна заданному на­правлению S. Задание на комплексном чертеже пирамиды и призмы пред­ставлено на рис.32 и рис.33. Видимость элементов многогранника определяется с помо­щью конкурирующих точек (см. рис. 32 и 33) и следующих пра­вил
Линии, образующие внешний контур (очерк) каждой проекции, всегда видимы.
Если внутри очерка пересекаются проекции двух ребер, то одна из них видимая, другая — нет. Видимость опреде­ляется при помощи конкурирующих точек.
Если проекция хотя бы одного из ребер, ограничиваю­щих грань невидима, то невидима вся граньна этой плоскости проекции.
Если внутри очерка сходятся в одной точке проекции трех ребер, то или все три видимы, или все три не види­мы. Исходя из этого, достаточно определить видимость одной из трех проекций ребер, видимость двух других будет такой же.
Если видимость на одной проекции определена, види­мость на другой проекции можно определить без допол­нительных построений. Если последовательность наиме­нований вершин при обходе какой либо грани по часовой или против часовой стрелки одинакова на обеих проекциях, то и видимость грани на обеих проекциях также одинакова.
11.3. Поверхности вращения
Ось вращения
Поверхности вращения имеют широкое применение в тех­нике, так как являются определяющими многих деталей различ­ных механизмов. Это объясняется распространенностью враща­тельного движения, простотой изготовления и обработки деталей с поверхностями вращения. Образуются вращением производя­щей линии вокруг неподвижной оси i , перпендикулярной одной из плоскостей проекций. Определителем поверхности вращения является образующая линия / и ось вращения i (рис.34). При вра­щении образующей / вокруг оси i, перпендикулярной Пь т. А и т. Е описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси i, следовательно, параллельны между собой. Они называются параллелями и проецируются без искажения на ту плоскость, которая перпендикулярна оси i.
Рис. 34
Параллель наименьшего диаметра называется горлом, наи­большего — экватором. Линия пересечения поверхностей враще­ния с плоскостью, проходящей через ось i, называется меридианом, а секущая плоскость называется меридиальной. Если се­кущая плоскость параллельна плоскости проекции П2, то она на­зывается плоскостью главного меридиана. Эта плоскость опре­деляет очерк поверхности на П2, разбивает поверхность на две части: переднюю — видимую на П2 и заднюю — невидимую на П2, что позволяет определить видимость элементов поверхности вращения при взгляде спереди. Совокупность меридианов или параллелей (или их сочетание) образует каркас поверхности вра­щения. Каждую точку поверхности можно построить с помощью линий каркаса. Наиболее удобными линиями при этом построе­нии являются параллели. 11.4. Виды поверхностей вращения Поверхности вращения подразделяются: А. Поверхности, образованные вращением прямой линии вокруг оси i (цилиндр, конус, однополостный гиперболоид). Точ­ки на поверхностях находят с помощью параллелей или обра­зующих (рис.35). Определитель поверхностей один Q(i, Г).-Б. Поверхности, образованные вращением окружности во­круг оси i (сфера — шаровая поверхность, тор) (рис.36). 1. Шаровая поверхность — образующая окружность, вра­щается вокруг своего диаметра, так как ось вращения i совпадает с ее диаметром. Экватор / и меридиан к равны: 1 = к (рис.36). Точ­ка С лежит на главном меридиане. Точка Е лежит на экваторе. Определить т. А, В можно с помощью параллелей своего радиуса. см на II 1 Рис. 362. Тор — поверхность, образованная при вращении окружно­сти вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности, не проходящей через ее центр. Тор может быть открытым или закрытым в зависимости от R образующей окружности и центра, и расстояния от центра оси вращения (рис.37а, б). В. Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка (эллипс, парабола, гипербола) вокруг их оси (рис.38 а, б, в, г). Эти поверхности могут быть заданы уравнением второй степени.
Рассмотрим поверхности, образованные вращением эллипса, параболы и гиперболы вокруг их осей. Эллипсоид вращения бывает двух видов: а) вытянутый, который образуется при вращении эллипса вокруг его большой оси (рис.38); б)сплюснутый, образованный вращением эллипса вокруг его малой оси. Параболоид вращения — поверхность, получающаяся вращением параболы вокруг ее оси (рис.39). При вращении гиперболы могут получиться два вида гипер­болоида вращения: а) однополостный гиперболоид, образующийся при вра­щении гиперболы вокруг ее мнимой оси (рис. 40а). Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, так как может быть образован и вращением прямой /(/ь /2) вокруг скре­щивающейся с ней оси i (»i, «2 ) (рис.41);
Рис. 406
б) двуполостный гиперболоид образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис.406).Рис. 40а
На рис.40 показан также асимптотический конус, который образуется при вращении асимптот гиперболы, причем однополостный гиперболоид расположен во внешней области асимпто­тического конуса, а двуполостный гиперболоид — в его внутрен­ней области. Все рассмотренные поверхности вращения, за исключением тора, являются алгебраическими поверхностями второго порядка, так как при пересечении прямой линии с каждой из этих поверх­ностей образуется не более двух точек. В результате пересечения прямой линии с поверхностью тора могут получиться четыре точки. Поэтому тор является поверхностью 4-го порядка. Построение точки А на каждой из разобранных поверхно­стей вращения осуществлено с помощью соответствующей па­раллели (рис.35-41).11.6. Линейчатые поверхности Линейчатой называется поверхность, которая образована перемещением прямой линии в пространстве по какому-либо за­кону. В зависимости от вида направляющих линий и характера движения образующей, получаются виды линейчатых поверхно­стей: развертываемые и неразвертываемые. А. Развертываемые линейчатые поверхности (торс, ци­линдрическая, коническая).
Рис. 45а
1. Торс — поверхность с ребром возврата т, образуется дви­жением прямолинейной образующей /, касающейся во всех по­ложениях пространственной кривой m (рис. 45). 2. Цилиндрическая поверхность. Ребро возврата удалено в бесконечность. Поверхность образуется движением прямой /, имеющей построенное направление S по некоторой кривой п (рис. 46).
Рис. 46
3. Коническая поверхность. Ребро возврата выродилось в точку S. Поверхность образуется перемещением прямой /, прохо­дящей через точку S, по некоторой кривой п, может иметь две полости (рис. 47)..
Рис. 47
Б. Неразвертываемые линейчатые поверхности (цилинд­роид, коноид, косая плоскость). Этот вид поверхностей образуется перемещением прямой /, перемещающейся по двум направляющим и остающейся парал­лельной некоторой плоскости параллелизма, за которую обычно, принимают одну из плоскостей проекций: П1 или П2. 1. Цилиндроид образуется перемещением прямой / по двум направляющим и остающейся параллельно некоторой плоскости параллелизма (рис. 48а, б).2.Коноид образуется перемещением прямолинейной обра­зующей / по двум направляющим: кривой и прямой, при этом остается параллельной плоскости параллелизма, (рис. 49). Если прямолинейная образующая п перпендикулярна к плоскости параллелизма, то коноид называется прямым, а если криволинейная направляющая m является цилиндрической вин­товой линией, коноид называется винтовым. 3.Косая плоскость (гиперболический параболоид) получа­ется перемещением прямой / по двум скрещивающимся прямыми остающейся параллельной некоторой плоскости параллелизма. (рис,50).
В сечении гиперболического параболоида могут получиться гиперболы, параболы, прямые линии (рис.51).В. Линейчатые винтовые поверхности — геликоиды. Ли­нейчатой винтовой поверхностью называется поверхность у ко­торой одна направляющая — винтовая линия, а другая — прямая (ось винтовой линии). Определителями поверхности является винтовая линия и ее ось : 0 (/, т, /). Геликоид называется прямым, если образующая прямая / перпендикулярная к оси г винтовой линии и эта ось выполняет роль прямой направляющей (рис. 52).
Рис. 52
Если образующая прямая и не перпендикулярна к оси i, то геликоид называют косым или наклонным — Архимедов винт (рис. 53). Геликоиды могут быть закрытыми и открытыми. Прямая / при пересечении оси i винтовой линии образует закры­тый геликоид, если / не пересекает ось /, то образуется откры­тый геликоид. В процессе образования поверхности наклонного геликоида образующие располагаются параллельно образующим поверхности некоторого конуса вращения, ось i которого совпа­дает с осью i винтовой линии, а образующие имеют тот же на­клон к оси i винтовой линии, что и образующие геликоида. Этот конус называется направляющим. Определитель наклонного геликоида состоит из направляющих: винтовой линии m(mb m2), оси винтовой линии i (z»b i2) и образующей /(/,, /2), которая распо­лагается под углом а к оси винтовой линии. Наведя каркас из об­разующих / и проведя огибающую семейства фронтальных про­екций образующих /, на П2 получаем очертание наклонного гели­коида. Сечение геликоида плоскостью £ (£2), перпендикулярной оси геликоида (нормальное сечение), представляет собой спираль Архимеда, требует специального построения (рис. 53).
12. Пересечение поверхностей с плоскостью и прямой ли­нией А. Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью При пересечении какой-либо поверхности плоскостью полу­чается плоская фигура, которая называется сечением. Если секу­щая плоскость — проецирующая, то построение сечения прово­дится несложно. Так как одна из проекций секущей плоскости вырождается в прямую линию, то на основании собирательного свойства проецирующих плоскостей эта проекция вбирает в себя все точки плоскости, в том числе и сечение. Таким образом, зада­ча сводится к построению другой проекции сечения. Выделяются общие точки, которые принадлежат как плоскости, так и пересе­каемой поверхности. Затем на основании принадлежности этих точек к фигуре строятся их недостающие проекции. При пересечении плоскостью многогранника в сечении по­лучается многоугольник (ограниченный замкнутой ломаной ли­нией). Число его сторон и вершин равно числу граней и ребер многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Построение сечения многогранника можно осуществить двумя способами: 1) отыскание вершин многоугольника сечения — способ ребер. При этом построение сводится к тому, что несколько раз реша­ется задача нахождения точки пересечения прямой (ребро) с плоскостью (секущая плоскость) — первая позиционная задача; 2) отыскание сторон многоугольника сечения — способ граней.При этом несколько раз решается задача нахождения линии пересечения двух плоскостей (грани и секущей плоскости) — вторая позиционная задача. При пересечении плоскостью кривых поверхностей в сече­нии получаются плоские кривые линии. Как уже было сказано, если секущая плоскость проецируется в прямую линию, то вто­рую можно построить по отдельным точкам (рис. 54).
Среди точек кривой пересечения имеются такие, которые особенно расположены по отношению к плоскостям проекций или занимают особые места на кривой. Такие точки называются опорными, и при построении сечения эти их определяют в первую очередь. К опорным точкам относятся экстремальные точки, очерковые точки и точки смены видимости -Экстремальные точки — это высшая и низшая точки сече­ния, самая близкая и дальняя относительно плоскости проекции Пг, самая левая и самая правая относительно П3. Очерковыми называются точки, проекции которых лежат на очерках поверхности. Точки смены видимости разграничивают проекцию линии пересечения на видимую и невидимую часть. Точки смены види­мости всегда выбираются из очерковых точек. Часто бывает так, что одна и та же точка является одновременно и экстремальной, и очерковой, и точкой смены видимости. После определения опорных точек при построении кривой линии, для того чтобы точнее определить ее характер, определя­ется ряд случайных точек. Случайные точки — это точки, которые взяты произвольно. Часто вид сечения заранее известен. Рассмотрим, какие сечения получаются в наиболее часто встречающихся поверхностях. Конус — поверхность, в которой получается пять видов раз­личных сечений: 1. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается треугольник (все линии прямые). Если секущая плоскость не проходит через вершину, в се­чении получаются кривые линии.
Если секущая плоскость расположена под углом к осно­ванию и не параллельна ни одной из образующих, то в се­чении получается эллипс (т).
Если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса, в сечении получается парабола (п).
Если секущая плоскость параллельна двум образующим, в сечении получается гипербола (к).
Если секущая плоскость параллельна основанию и в пря­мом конусе перпендикулярна оси, в сечении получается окружность (е), радиус окружности замеряется от оси до очерка (рис.55).
Рис. 55 Цилиндр — поверхность, в сечении которой получается три типа плоских фигур: 1.Если секущая плоскость расположена параллельно осно­ванию и перпендикулярно оси, в сечении получается ок­ружность, радиус которой совпадает с радиусом основа­ния. 2. Если секущая плоскость расположена параллельно оси, в сечении получается прямоугольник. 3. Если секущая плоскость расположена под углом к осно­ванию и пересекает все образующие линии, в сечении по­лучается эллипс (рис. 56).
Сфера — поверхность, в сечении которой всегда получается окружность, как бы ни располагалась секущая плоскость. Радиус окружности определяется следующим образом: из центра сферы на секущую плоскость опускается перпендикуляр, и радиус ок­ружности замеряется от точки пересечения перпендикуляра с плоскостью до очерка сферы (рис.57) для 9(02), Для Л(Л2) радиус берется от оси сферы до очерка. Если секущая плоскость — общего положения, то для реше­ния такой задачи удобно преобразовать комплексный чертеж так,чтобы секущая плоскость стала проецирующей, а затем продол­жить решение по схеме, описанной выше (рис.58). Б. Пересечение поверхности с прямой линией При пересечении поверхности с прямой линией необходимо определить две точки пересечения, которые называются точками входа и выхода прямой. Задача решается по следующей схеме: 1.Одна из проекций прямой заключается в проецирующую плоскость, затем решается задача построения сечения по­верхности проецирующей плоскостью. После того как по-строено сечение, находят общие точки сечения с проекци­ей прямой. 2. Недостающие проекции точек пересечения строят на ос­новании принадлежности их к прямой при помощи линий связи. 3.Определяется видимость (рис. 59). ftРис. 59
При решении задачи на пересечение прямой линии с по­верхностью могут быть использованы способы преобразования комплексного чертежа (рис.60). 13.Взаимное пересечение двух поверхностей. При взаимном пересечении двух поверхностей образуется одна или две замкнутые пространственные линии (линии перехо­да), которые принадлежат одновременно каждой из пересекаю­щихся поверхностей. Построение этих линий производится по отдельным точкам. Одна линия получается в случае врезки, т.е. когда обе поверхности участвуют в пересечении частично. Две линии получаются в случаи проницания, т.е. когда хотя бы одна из поверхностей полностью участвует в пересечении. Если в пересечении участвуют два многогранника, то линия пересечения получается ломаная, состоящая из ряда прямолиней­ных отрезков. Если пересекаются многогранник и кривая поверх­ность, то линия пересечения — ломаная кривая. Если пересекаются две кривые поверхности, то линией пересечения является плавная кривая линия. Существует последовательность определения то­чек линии пересечения. В первую очередь определяются опорные точки. К ним относятся экстремальные, очерковые (определяются на каждом очерке каждой поверхности), точки смены видимости (выбираются среди очерковых). Если в пересечении участвует многогранник, то точки пересечения его ребер с другой поверх­ностью также относятся к опорным точкам. После того как найдены опорные точки, определяются слу­чайные точки. Такие точки нужны, если в пересечении участвует кривая поверхность, так как если хотя бы одна из поверхностей кривая, то линией пересечения будет кривая линия. Кривая линия строится тем точнее, чем больше взято случайных точек. Задачи на взаимное пересечение двух поверхностей делятся на три группы сложности. Первая группа сложности — обе поверхности проецирую­щие. В этом случае две проекции общего элемента (т.е. линии пе­ресечения) заданы на исходном комплексном чертеже — они сов­падают с главными (вырожденными) проекциями проецирующих поверхностей. Требуется их только обозначить. Иногда возникает необходимость построить третью недостающую проекцию. В этом случае одну из заданных проекций линий пересечения раз­бивают на точки, на второй проекции заданной линии находятся проекции обозначенных точек, и затем по двум проекциям точек при помощи линий связи строят третью проекцию (рис.61).
Вторая группа сложности — одна поверхность проецирую­щая, другая общего положения. Одна проекция общего элемента задана на исходном чертеже — она совпадает с главной (вырож­денной) проекцией проецирующей поверхности. Требуется её обозначить. Вторая проекция общего элемента определяется из условия его принадлежности к поверхности общего положения. Для этого необходимо разбить имеющуюся проекцию линии пе­ресечения на точки (опорные и случайные), а затем строить не­достающие проекции этих точек из условия принадлежности их поверхности общего положения. Если конус — поверхность обще­го положения (рис.62а), а призма — проецирующая поверхность, то фронтальная проекция линии пересечения, совпадающая с фронтальной проекцией призмы, разбивается на точки и через них проводят параллели. Затем измеряют радиус параллели (от оси до очерка) и на другой проекции проводят окружность этого радиуса, после чего при помощи линий связи находят недостаю­щие проекции точек линии пересечения. Когда найдены все точ­ки, их соединяют плавной кривой. Так же решается задача, если фигурой общего положения является сфера (рис.626).
Третья группа сложности — обе пересекающиеся поверхно­сти общего положения. В этом случае ни одна из проекций линии пересечения поверхностей на исходном комплексном чертеже не задана. Такие задачи решаются способом введения посредников, что сводит решение каждой задачи к пересечению двух линий, полученных от пересечения посредника с заданными поверхностями. Существует два способа решения такого типа задач: способ вспомогательных секущих плоскостей и способ сфер. 1. Способ вспомогательных секущих плоскостей применяет­ся в том случае, если в сечении обеих поверхностей получаются простые по графическому построению линии (окружности или прямые). Секущие плоскости задаются обязательно частного по­ложения, в большинстве случаев выбираются как посредники плоскости уровня. Рассмотрим этот способ решения задачи. Пример Построить линию пересечения полусферы Р и пирамиды Q (рис,63).1) анализ чертежа показывает, что это задача третьей группы сложности (пирамида и полусфера — фигуры общего положения).Задача решается при помощи посредников. За посредники выбе­рем горизонтальные плоскости уровня. Они пересекают Р по па­раллелям, a Q по треугольникам — графически простым линиям. 2) определяем опорные точки на линии пересечения т. На­ходим точки пересечения ребер пирамиды с полусферой: Mi, Fj и Ер Точку M-SB Р находим с помощью плоскости 2(£i) — плос­ кости главного меридиана полусферы Р. Точки Е и F получаются в результате пересечения ребер AS и SC и полусферой Р, найде­ны точки с помощью плоскости А(Д2) — плоскость экватора полу­ сферы. Точки М, Е, F являются экстремальными точками, а так­ же очерковыми на П2, точки Е и F очерковыми на Нь и они же точки смены видимости на П1. 3) случайные точки определяем с помощью плоскостей уровня Х(Х2) и Г(Г2); X P-n(n2,ni) — параллель полусферы X Q^l(hJ\) — треугольник DTS; = точки I и 2. Аналогично с помощью плоскости Г(Г2) находятся точки 3 и 4. 4) соединяем найденные точки линии m с учетом видимости. 5) определяем взаимную видимость Р и Q. 2. Способ вспомогательных сфер основан на одном свойстве поверхностней вращения: если центр сферической поверхности расположен на оси поверхности вращения (сфера и поверхность вращения в этом случае называются соосными), то при их взаим­ном пресечении образуется окружность. Причем плоскости этих окружностей располагаются перпендикулярно к оси поверхности вращения (рис.64а, б).
Рис.64а
Рис. 646 Благодаря этому свойству сферические поверхности исполь­зуются в качестве вспомогательных при определении точек ли­нии пересечения между поверхностями двух тел вращения с пе­ресекающимися осями. Способ, где посредником берется сфера, называется способом вспомогательных концентрических сфер. Применяется он, только если соблюдаются три условия:
Обе поверхности должны быть поверхностями вращения.
Обе поверхности должны иметь общую ось симметрии (т.е. должны быть соосными).
Оси симметрии пересекающихся поверхностей должны быть прямыми линиями, и эти оси должны пересекаться. Рассмотрим применение этого способа на практическом примере.
Пример Построить линию пересечения между поверхностями ци­линдра и конуса, оси которых пересекаются под углом (рис.65).
Общая плоскость симметрии обоих тел P(Pj) расположена парал­лельно плоскости П2.
Рис. 65
Поэтому высшая и низшая точки линии пересечения M(Mi, М2) и N(Nb N2) получаются в пересечении очерковых образую­щих. Все остальные точки линии пересечения находим с помо­щью вспомогательных сфер, которые проводим из точки пересе­чения осей конуса и цилиндра О(ОЬ О2). Сферой наименьшего радиуса является сфера, вписанная в поверхность одного из пере­секающихся тел. С поверхностью другого тела такая сфера долж­на пересекаться. Для того чтобы определить, в какую из пересе­кающихся фигур вписывается наименьшая сфера и точки пересе­чения осей О(О2) на очерковые образующие фигуры опускаем перпендикуляры; тот из перпендикуляров, который окажется больше, и будет радиусом наименьшей сферы (Rmin=O2K2). Про­веденная из центра О(О2) вписанная в поверхность конуса сфера Ф(Ф2) касается поверхности конуса по окружности m(n^,mj) и пересекается с поверхностью цилиндра по окружности п(п2). Обе эти окружности на П2 проецируются в виде прямых отрезков К2К»2 и А2А’2. Так как построенные окружности принадлежат од­ной и той же сфере Ф, то они пересекаются в двух точках Е(Еь Е2) и F(Fi, F2), которые являются общими для поверхностей кону- са и цилиндра, следовательно, располагаются на линии их пере­сечения. Произвольные точки 1, 2, 3, 4 определены с помощью кон­центрической сферы £(22) радиусом большим, чем радиус впи­санной сферы. После того как все точки найдены в двух проекци­ях они соединяются плавной линией на П2, и на nt с учетом ви­димости. Если две пересекающиеся поверхности являются поверхно­стями вращения и имеют общую плоскость симметрии, но оси этих плоскостей не пересекаются, то в этом случае применяется способ эксцентрических сфер. При этом способе точки линии пересечения между двумя поверхностями определяются при по­мощи сфер, проводимых из различных центров. Разберем применение этого способа на примере. Пример Построить линию пересечения между поверхностями конуса и тора.
Рис. 66
Сначала определяем опорные точки. Общая плоскость сим­метрии обеих тповерхностей расположена параллельно плоско­сти П2. Поэтому высшая точка линии пересечения М(МЬ М2) по­лучается в пересечении очерковых образующих. Плоскость осно­вания обоих фигур также совпадает и параллельна П]. На nt оба основания проецируются от проведения плоскости 8(02) в виде окружностей и их пересечения дают две нижних точки линии пе­ресечения Е(ЕЬ Е2) и F(F|, F2). Для определения произвольных точек 1, 2 через ось тора проводят вспомогательную фронтально проецирующую плоскость, которая пересечет тор по окружности с центром А(А2). Эта окружность проецируется на П2 в виде от­резка В2В»2. Из центра этой окружности (А2) проводится перпен­дикуляр к отрезку B2BV2. Пересекаясь с осью конуса, он опреде­ляет центр сферы О(О2). Из центра О(О2) проводится вспомога­тельная сфера Ф(Ф2) такого радиуса, чтобы она пересекала тор по окружности ВВ\ B2BV2). Эта сфера пересекает конус по окружно­сти СС»(С2С*2)- Обе найденные окружности пересекутся в точках 1(12,1!) и 2(22,2]), располагающихся на линии пересечения по­верхностей конуса и тора. Точки 3 и 4 определены при помощи вспомогательной сфе­ры Х(£2) из центра (У(О’2), найденного аналогичным построени­ем с помощью вспомогательной плоскости Q(Q2). После того как все точки найдены, в двух проекциях они соединяются плавной кривой линией на П2 и на П[. В заключение определяется взаим­ная видимость конуса и тора. В некоторых случаях кривая, которая получается при пере­сечении поверхностей вращения, распадается на две плоские кривые,. Условия, при которых происходит распадение линии пе­ресечения на две плоские кривые, оговариваются в трех теоре­мах. Теорема 1. Если две поверхности вращения (второго поряд­ка) пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой (рис. 67а, б). Теорема 2. Если две поверхности вращения касаются в двух точках М и N (рис. 68), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые.
Рис. 68
Теорема 3 (теорема Г. Монжа). Если поверхности вращения второго порядка вписаны или описаны около третьей поверхно­сти вращения второго порядка (сферы), то в результате их пере­сечения образуются плоские кривые второго порядка (рис.69). Развертки поверхностей Разверткой называют плоскую фигуру, полученную при со­вмещении развертываемой поверхности с плоскостью. Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися. Рассмотрим различные виды разверток. Точные развертки (гранные поверхности, конус и цилиндр) (рис. 70). Приближенные (кривые развертываемые поверхности). Кривую поверхность заменяют гранной поверхностью. Точность развертки зависит от величины отсеков гранной поверхности, значит, от их количества (рис.71). Чтобы из приближенной раз­вертки получить нужную поверхность, достаточно изогнуть тон­кий лист на котором начерчена развертка. Приближенно—условные развертки (неразвертываемые кривые поверхности). Теоретически у иеразвертываемых поверхностей разверток быть не может. Развертка получается условно, если эту поверх­ность заменить такими простыми развертывающимися поверхно­стями, как цилиндры и конусы. Последние в свою очередь заме­няют многогранными поверхностями, которые и развертывают. Существует несколько способов построения разверток поверх­ностей.
Способ треугольника (триангуляция). Этот способ применя­ется для построения разверток гранных поверхностей и всех линейчатых поверхностей. Кривую линейчатую поверхность заменяют вписанной гранной поверхностью (рис.70, 71).
Способ нормального сечения (рис.72).
Способ раскатки.
Способ вспомогательных цилиндров и конусов (для построе­ния условно-приближенных разверток).
Рассмотрим несколько примеров построения разверток по­верхностей. Пример 1. Построить развертку поверхности пирамиды (рис. 70). Поскольку у пирамиды боковые грани являются треугольниками, то построение её развертки сводится к построению натуральных величин этих треугольников и натуральных величин основания. Натуральные величины ребер определены способом плоскопа­раллельного перемещения. Развертка пирамиды — это ряд при­строенных друг к другу граней и основания.Рис. 70 Пример 2. Построить развертку боковой поверхности усеченного конуса (рис. 71). Заменяем поверхность конуса восьмиугольной пирамидой, вписанной в конус. Натуральную величину обра­зующих определяем способом плоскопараллельного перемеще­ния. Это построение можно выполнить на исходном чертеже, переместив все образующие и отрезки на них в положение крайней образующей, которая расположена параллельно П2. Дуги основания конуса заменяем рядом хорд и развертку строим аналогично развертке пирамиды(ряд треугольников).Затем полученные точки соединяем плавной кривой линией.
Пример 3. Построить развертку наклонной призмы (рис. 72). Для определения рассгояния между ребрами призмы нужно определить натуральную величину нормального сечения плоско­стью Р(р2), перпендикулярной к боковым ребрам. Натуральную величину» нормального сечения определяют заменой плоскостей проекции или плоскопараллельным перемещением. На развертке фигура нормального сечения представляет собой прямую линию, длина которой равна сумме сторон нормального сечения. Нату­ральные величины ребер АА\ ВВ\ СС\ ДД» снимают с П2. Так как ребра данной призмы параллельны П2, то и натуральная ве­личина их читается на П2. Если ребра призмы — прямые общего положения, то необходимо сначала определить их натуральную величину, затем натуру нормального сечения и строить развертку но описанной выше рекомендации.

Скачать бесплатно учебник с картинками

Начертательная геометрия