Учебник по начертательной геометрии с примерами задач
Цена 600 рублей один чертеж формата А3.
1. Предмет начертательной геометрии Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры при помощи построения их изображений на плоскости, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоском чертеже. Построение чертежей производится по одному из способов проецирования. Эти способы излагает и обосновывает начертательная геометрия. В связи с этим предметом начертательной геометрии являются: 1. Создание методов изображения геометрических фигур на плоскости 2.Изучение геометрических свойств фигур по их изображениям (чтение чертежа) 3. Разработка способов графического решения на плоскости различных пространственных задач, относящихся к пространственным фигурам (позиционных и метрических задач) Методы проекций. Виды проецирования Для построения изображений геометрических фигур на плоскости пользуются методом проецирования. Проекция — это отображение геометрической фигуры на плоскость проекций. Рассмотрим на примере аппарат проецирования. Пусть даны точка S -центр проецирования, плоскость П — плоскость проекций и точка А — геометрический объект, изображение которого нужно построить (рис.1). Для построения изображения (проекции) точки А строят проецирующую прямую SA и определяют точку А’ пересечения прямой SA с плоскостью П. Точку А’ называют проекцией точки А. В зависимости от расположения центра проецирования S и плоскости проекций П проецирование может быть центральным, если центр проецирования расположен на фиксированном расстоянии от плоскости, или параллельным (частный случай центрального), если центр проецирования удален от плоскости проекций в бесконечность. При параллельном проецировании обычно вместо конкретного центра проецирования S задают направление проецирования. Так как проецирующие линии (лучи) в этом случае параллельны, то они составляют с плоскостью проекций один и тот же угол. Если этот угол α не равен 90°, то такое параллельное проецирование называется косоугольным. В случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции (т.е.α=90°) параллельное проецирование называется прямоугольным, или ортогональным.
Таким образом, прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного проецирования и является основным методом построения чертежей. Так как одна проекция объекта проецирования (точки, прямой, плоскости или поверхности) не определяет его положения в пространстве, для определения положения объекта необходимо иметь не менее двух его проекций. С этой целью строят прямоугольные проекции объектов на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.2). 3. Инвариантные свойства ортогонального (прямоугольного) проецирования При параллельном ортогональном проецировании в общем случае нарушается метрическое равенство между оригиналом и его проекцией, хотя проекция сохраняет некоторые свойства оригинала, которые называются инвариантными (неизменяемыми). 1. Проекция точки есть точка:2. Проекция прямой на плоскость есть прямая:3. Если точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии:4. Проекции взаимно 11прямых также взаимно 11, а отношение отрезков таких прямых равно отношению их 11 проекций:
Точка пересечения проекций пересекающихся прямых является проекцией точки пересечения этих прямых:
Плоская фигура, параллельная плоскости проекции, проецируется на эту плоскость без искажений.
Плоский прямоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин. Если плоскость многоугольника параллельна направлению проецирования, то она проецируется в прямую линию.
Параллельный перенос оригинала или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекций оригинала.
9. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажений. 4. Точка Прямоугольной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекции. В качестве плоскостей проекций берут три взаимно перпендикулярные плоскости Пь П2, П3 (рис. 3). Плоскость П1 называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П2 называется фронтальной плоскостью проекций. Плоскость П3 называется профильной плоскостью проекций. Пересечение горизонтальной плоскости с фронтальной принимается за ось X. Пересечение горизонтальной плоскости с профильной — ось Y. Пересечение фронтальной плоскости с профильной — ось Z. Место пересечения трех осей обозначается т. О и называется центром или началом координат. Для точки А (рис. 4) проецирующие линии: Остальные линии — это линии связи проекций. Проекция на П1 называется горизонтальной проекцией, проекция на П2 -фронтальной проекцией, на П3 — профильной. Для удобства и простоты пользования при решении задач от трехгранника образованного плоскостями П1 П2 и П3, необходимо перейти к комплексному чертежу. Комплексным чертежом называется чертеж, составленный из нескольких связанных между собой проекций геометрического объекта. Для получения комплексного чертежа следует совместить плоскость П1 и П3 с плоскостью П2, вращая их вокруг соответствующих осей (рис.5). Для этого трехгранник, образованный плоскостями П1 П2, П3 разрезать вдоль оси Y. При этом убирается точка А и проецирующие линии. Ось X на комплексном чертеже обозначается Х12, т.к. она принадлежит одновременно двум плоскостям проекции: П1 и П2. Ось Z обозначается Z23, т.к. она принадлежит П2 и П3. Ось Y на П1 обозначается Y1 на П3 — Y3. Центр координат на комплексном чертеже обозначается О123. Фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на одной вертикальной линии связи: A,A2 X12. Фронтальная и профильная проекция точки расположены на одной линии связи: A2A3 Z23. При наличии двух проекций точки, третью проекцию можно найти с помощью прямой К0, которая называется постоянной прямой комплексного чертежа. Определять пространственное положение точки можно при помощи ее прямоугольных координат. Координатами точки являются числа, выражающие расстояние от точки до трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекции П1 П2, П3. Расстояние от точки А до профильной плоскости проекции П3, называется широтой (Ха): Xa=AA3=A2A23=A1AI3 Широта точки читается на плоскостях проекций П1 и П2. Расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций П2, называется глубиной (Ya): Ya=А А2=А1А12=А3 А23 Глубина точки читается на плоскостях проекций П1 и П3. Расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций П1 называется высотой (Za): Высота точки читается на плоскости проекций П2 и П3. При прямоугольном проецировании возможны случаи, когда две точки имеют одинаковую координату. В этом случае на двух плоскостях проекций они лежат на одной линии связи, а на третьей плоскости проекций — проекции этих точек совпадают (одна из них закрывается другой). Такие точки называются конкурирующими точками. Конкурирующие точки могут быть на П1 П2 и П3. В каждом из этих случаев важно знать условия видимости конкурирующих точек. Итак: -из двух горизонтально конкурирующих точек на П1 видна та, которая выше (у которой больше высота). -из двух фронтально конкурирующих точек на П2 видна та, которая ближе (у которой больше глубина). -из двух профильно конкурирующих точек на П3 видна та, у которой больше широта. 5. Прямая Прямая определяется в пространстве точками А и В, а её проекции на плоскости определяются проекциями этих точек. Если прямая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то такая прямая называется прямой общего положения. Прямая общего положения может быть восходящей, если по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, или нисходящей — если по мере удаления от наблюдателя опускается вниз. О положении отрезка АВ в пространстве можно судить по координатам точек А и В до плоскости проекций, но можно определить разность этих расстояний, т.е. можно судить о расположении точек А и В относительно друг друга (рис. 6). Тогда рассматриваются разности координат: разность широт ХА-ХВ, разность глубин Ya-YВ, разность высот Za-ZB. Такие координаты называются относительными. При построении такого чертежа положение двух проекций одной из точек выбирается произвольно (А1 и А2 на одной вертикальной линии связи), проекции остальных точек строят, учитывая известные разности координат, которые могут быть положительными или отрицательными (рис.7).
Такой чертеж называется безосным. На безосном чертеже т. А выполняет функцию т. О — начала координат в осной системе, от которой ведётся отсчет разности координат для построения проекций других точек. Пример. Построить проекции отрезка АВ, если известны координаты т. В, вычисленные относительно т. А. Положение т. В определяется заданнымиразностямикоординат: | ХВ-Ха ], | YB-YаРешение.
Произвольно задаем положение т. А (А1 А2) на вертикальной линии связи.
Проводим вторую вертикальную линию связи для т. В, учитывая ХВ-ХА . Если эта разность положительная, величина её откладывается влево от линии связи A2A1, если разность отрицательная, то вправо.
Фронтальная проекция т. В (В2) определяется по величине
ZB-Zaв зависимости от положительной или отрицательной её величины (если величина положительная, тоZB-Za откладывается вверх, если отрицательная — вниз). 4.Горизонтальная проекция т. В (В1) определяется по величине YB-YА с учетом знака разности глубин (отрицательная величина разности глубин откладывается вверх, положительная — вниз). 5. Соединив одноименные проекции А2В2 и A1B1 прямыми линиями, получим искомые проекции АВ. Прямые в пространстве могут занимать разные положения относительно плоскостей проекций П1 П2, П3. Прямая, расположенная параллельно какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня. На комплексном чертеже различают три линии уровня (табл. 1): 1) горизонтальная прямая уровня (горизонталь) — прямая, параллельная П1. Обозначается обычно буквой h. Все точки горизонтали имеют равные высоты. На П1 прямая h проецируется в натуральную величину (т.е. без искажений). Проекция горизонтали на П2 перпендикулярна вертикальным линиям связи. Угол наклона горизонтали к плоскости П2 (β) проецируется на П[ без искажений; 2) фронтальная прямая уровня (фронталь) — прямая, параллельная П2 Обозначается обычно f (f1 f2)- Все точки фронтали имеют равные глубины. На П2 прямая f проецируется в натуральную величину. Проекция фронтали на П1 перпендикулярна вертикальным линиям связи. Угол наклона фронтали к плоскости П1 (α) проецируется на П2 без искажений; 3) профильная линия уровня — прямая, параллельная П3. Обозначается буквами EF (E1F1 E2F2, E3F3). Все точки профильной прямой имеют равные широты. На П1 и П2 проекция профильной прямой лежат на одной вертикальной линии связи. На П3 профильная прямая проецируется в натуральную величину, на П3 без искажения проецируются углы наклона прямых к Щ и П2 (а и Р). ТаблицаПрямая, расположенная перпендикулярно какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой. На комплексном чертеже различают три проецирующие прямые: 1) горизонтальнопроецирующая прямая — прямая, перпендикулярная П1. Так как П1 П2 и П3 взаимно перпендикулярны, то прямая, перпендикулярная П1 в то же время параллельна П2 и П3. На П1 прямая проецируется в точку. На П2 и П3 прямая проецируется в Ha- туральную величину, проекция прямой на П2 и П3 параллельна вертикальным линиям связи; 2) фронталънопроецирующая прямая — прямая, перпендикулярная П2 и параллельная П1 и П3. На П2 прямая проецируется в точку. На П1 прямая проецируется в натуральную величину, а проекция на П1 параллельна вертикальным линиям связи. На П3 прямая также проецируется в натуральную величину, а проекция прямой на П3 параллельна линиям связи; 3) профильнопроецирующая прямая — прямая, перпендикулярная П3 и параллельная П1 и П2. На П3 проецируется в точку, на П1 и П2 проецируется в натуральную величину и перпендикулярна вертикальным линиям связи. Таким образом, прямые уровня и проецирующие прямые на комплексном чертеже всегда имеют одну проекцию, равную натуральной величине отрезка. Несложно также определить угол наклона таких прямых к плоскости проекций. Для определения натуральной величины прямой общего положения и угла наклона её к плоскостям проекций пользуются способом прямоугольного треугольника (рис. 8 а, б, в). Строится прямоугольный треугольник, у которого один катет — это проекция прямой на П1 второй катет — это разность высот точек отрезка. Гипотенуза такого треугольника — это натуральная величина отрезка, а угол между проекцией на П1 и натуральной величиной — это угол наклона прямой к П1 (α).
Прямоугольный треугольник можно построить и на П2. В этом случае один катет будет проекцией отрезка на П2, второй катет — разность глубин точек отрезка, гипотенуза – натуральная величина. Угол между проекцией на П2 и натуральной величиной — угол наклона прямой к П2 (β). Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися: 1)если две прямые параллельны в пространстве, то на комплексном чертеже их одноименные проекции тоже параллельны между собой. Верно и обратное утверждение: если на комплексном чертеже горизонтальные и фронтальные проекции двух прямых попарно параллельны, то и прямые в пространстве параллельны; 2) если прямые пересекаются в пространстве, то на комплексном чертеже их одноименные проекции пересекаются в точке, лежащей на одной линии связи, так как две пересекающиеся прямые в пространстве имеют общую точку; 3)две скрещивающиеся прямые в пространстве не имеют общей точки. Поэтому точки пересечения их горизонтальных и фронтальных проекций на комплексном чертеже не лежат на одной линии связи. Эти точки являются конкурирующими, применяются для определения видимости при построении взаимного положения двух фигур. При пересечении двух прямых образуются углы, которые проецируются на любую плоскость проекций без искажений в случае, если обе прямые лежат в плоскости, параллельной плоскости проекций. Если две прямые пересекаются под прямым углом, то следует знать, что проецирование прямого угла имеет особое свойство. Если одна из сторон прямого угла параллельна одной из плоскостей проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажений (инвариантные свойства параллельного проецирования).6. Плоскость Проекцией любой плоскости является геометрическое место проекций всех её точек. Если рассматривать плоскость, расположенную не перпендикулярно ни одной из плоскостей проекций, то её проекции целиком заполняют поля плоскостей проекций П1 П2, П3. Поэтому на комплексном чертеже задаются лишь некоторые геометрические элементы, определяющие положение заданной плоскости в пространстве: 1)три точки, принадлежащие плоскости и не лежащие ни на одной прямой; 2)прямая и точка (не лежащая на прямой); 3)две параллельные прямые; 4)две пересекающиеся прямые; 5)любая плоская фигура (рис.9).Рис.9 При решении задач по начертательной геометрии, связанных с плоскостью, важно знать, в каких случаях прямая принадлежит плоскости. Прямая принадлежит плоскости в двух случаях: если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости; если она проходит через точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости. В обоих случаях при задании прямой в плоскости необходимо иметь точки, принадлежащие этой плоскости. Поэтому важно знать, в каком случае точка принадлежит плоскости. Точка принадлежит плоскости, если через неё можно провести прямую, принадлежащую этой плоскости. В любой плоскости есть прямые, которые называются особыми прямыми на плоскости. К таким прямым относятся горизонтали плоскости, фронтали плоскости и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Горизонталь плоскости — прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости проекции П1. Фронтальная проекция горизонтали плоскости перпендикулярна к вертикальным линиям связи и параллельна оси X. Фронталъ плоскости — прямая, принадлежащая плоскости и параллельная плоскости проекций П2.
Горизонтальная проекция фронтали плоскости перпендикулярна к вертикальным линиям связи и параллельна оси X (рис.10). Линии наибольшего наклона к плоскости проекций — это прямые, лежащие в данной плоскости и образующие с одной из плоскостей проекций наибольший угол. Линия наибольшего наклона к Щ называется линией ската. Линия ската (/) данной плоскости должна быть перпендикулярна к горизонтали (h) этой плоскости (рис. 11а, б). На комплексном
Рис. 10
чертеже горизонтальная проекция линии ската перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости. Линия наибольшего наклона к П2 перпендикулярна к фронтали плоскости (рис. 11 в). Её фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости. Как и прямая, плоскость может занимать различные положения относительно плоскостей проекций.Рйс. Па Плоскость, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей проекций — плоскость общего положения. Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций — проецирующая плоскость. Плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций — плоскость уровня. Всего на комплексном чертеже рассматривается три проецирующих плоскости ( рис.12): 1. Горизонтально-проецирующая плоскость — П1. Горизонтальная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это главный признак горизонтально-проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция плоскости обладает собирательными свойствами, т.е. проекции всех точек, принадлежащих горизонтально-проецирующей плоскости на П1 совпадают с главной проекцией этой плоскости.
-проецирующая плоскость — П2. Фронтальная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это признак фронтально-проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция (проекция на П2) обладает собирательным свойством, т.е. проекции всех точек, принадлежащих фронтально-проецирующей плоскости на П2, совпадают с главной проекцией этой плоскости.
Профильно-проегщрующая плоскость — Пз- Профильная проекция такой плоскости вырождается в прямую линию (главная проекция). Это признак профильно-проецирующей плоскости на комплексном чертеже. Главная проекция обладает собирательным свойством.
Таблица Плоскости уровня, т.е. плоскости параллельные какой-либо плоскости проекций. Так как плоскости проекций взаимно перпендикулярны, то любая плоскость уровня является одновременно дважды проецирующей. Если плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то двум другим плоскостям проекций эта же плоскость перпендикулярна. На комплексном чертеже различают три плоскости уровня
Плоскость параллельна П1 но перпендикулярна П2 и П3 — горизонтальная плоскость уровня (одновременно такая плоскостьявляетсяпрофильноифронтально- проецирующей).
Плоскость параллельна П2, но перпендикулярна П1 и П3 — фронтальная плоскость уровня (горизонтально и профильно-проецирующая плоскость).
Плоскость параллельна П3, но перпендикулярна П1 и П2 — профильная плоскость уровня (горизонтально и фронтальнопроецирующая плоскость).
Таким образом, каждая плоскость уровня параллельна одной и перпендикулярна двум другим плоскостям проекций, и поэтому плоскости уровня обладают следующими свойствами.
Любая линия или плоская фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется без искажений (в натуральную величину) на ту плоскость проекций, которой параллельна плоскость уровня.
На две другие плоскости проекций плоскость уровня проецируется в прямые линии, которые перпендикулярны соответствующим линиям связи. Плоскости уровня обладают собирательными свойствами.
7. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей Возможны три взаимных расположения прямой и плоскости: прямая может пересекаться плоскостью, может быть параллельна плоскости или совпадать с плоскостью. Если прямая пересекается с плоскостью, она имеет с плоскостью одну (не больше) общую точку. Если прямая параллельна плоскости, то прямая и плоскость не имеют общих точек. Если прямая совпадает с плоскостью, она имеет с плоскостью как минимум две общие точки. Рассмотрим более подробно случай пересечения прямой с плоскостью. Частный случай пересечения прямой с плоскостью — прямая расположена под прямым углом к плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. Таким образом, если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна к любой горизонтали и фронтали плоскости. На комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали; фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис.13).
Рис. 13
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 13а). Из стереометрии известно, что плоскость в перпендикулярна плоскости Р в двух случаях: если она проходит через прямую / P; если она проходит перпендикулярно к прямой а, принадлежащей плоскости Р (рис 13 б). Из стереометрии известно, что плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Пример Через т.К провести плоскость Р(/ т) параллельно плоскости 0(/* т*) (решение задачи приведено на рис 1Зв).8. Позиционные задачи Позиционные задачи — задачи на взаимное пересечение геометрических образов:
Пересечение линии и поверхности (плоскости) — точка (первая позиционная задача).
Пересечение двух поверхностей (плоскостей)- линия (вторая позиционная задача).
При решении задач №1 и №2 возможны следующие случаи:
Оба геометрических образа являются проецирующими.
Один — проецирующий, другой — общего положения.
Оба — общего положения.
Рассмотрим первую позиционную задачу: пересечение линии и плоскости. Искомый элемент — точка. Случай 1. Прямая и плоскость являются проецирующими. В этом случае проекции точки пересечения уже есть на комплексном чертеже. Дополнительные построения для решения такой задачи не нужны (рис. 14). Нужен анализ, опирающийся на собирательные свойства проекции образа. Случай 2. Один геометрический образ проецирующий, а другой общего положения. Решается по следующей схеме.
При анализе чертежа должны быть сформулированы собирательные свойства проецирующего геометрического образа.
Одна проекция общего элемента (т.е. решение задачи) совпадает с главной (вырожденной) проекцией проецирующего образа. Необходимо выделить и обозначить эту проекцию.
Вторая проекция общего элемента находится по условию принадлежности к образу общего положения.
Определить взаимную видимость образов.
Случай 3. Прямая и плоскость общего положения пересекаются. Готового решения нет ни на одной из плоскостей проекции. Поэтому для решения подобной задачи требуется вводить плоскость-посредник.
Схема решения.
Прямая заключается во вспомогательную проецирующую плоскость (посредник).
Плоскость-посредник пересекается с заданной плоскостью по прямой линии, ограничив которую двумя точками М и N, несложно построить недостающую проекцию этой прямой линии, воспользовавшись собирательным свойством проецирующей плоскости.
Искомая точка К=/ ABC определяется в пересечении M2N2 и/2.
Последним пунктом определяется видимость заданной прямой относительно заданной плоскости.
Видимость определяется при помощи конкурирующих точек, и без ее определения задача является нерешенной (рис.15). Рассмотрим вторую позиционную задачу: построение линии пересечения двух плоскостей. При пересечении двух плоскостей так же, как и при пересечении прямой и плоскости, возможны следующие случаи:
Рис.17
Обе плоскости проецирующие.
Одна плоскость проецирующая, другая общего положения.
Обе плоскости общего положения.
Рис. 16 Случай 1. Проекции прямой, полученной при пересечении двух плоскостей совпадают с проекциями проецирующих плоскостей на основании их собирательных свойств. Проекции такой прямой уже имеются на комплексном чертеже, следовательно, не требуется никаких дополнительных построений (рис. 16). Случай 2. Задачи на пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью решаются по следующей схеме.
Формулируются собирательные свойства проецирующей плоскости.
Одна проекция линии пересечения совпадает с главной проекцией проецирующей плоскости ( ).
Недостающая проекция линии пересечения строится из условия принадлежности к плоскости общего положения.
Определяется взаимная видимость (рис 17).
Случай 3. При построении линии пересечения двух плоскостей общего положения необходимо вводить вспомогательные плоскости (посредники). Так как в результате пересечения получается прямая линия, а любая прямая линия определяется в пространстве двумя точками, то и посредников требуется не меньше двух. Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей общего положения на примере.
Плоскость Р задана двумя пересекающимися прямыми а и Ь, плоскость Q — двумя параллельными прямыми e и d. Требуется построить линию пересечения плоскостей Р и Q (рис.18). Схема решения.
Пересечем данные плоскости Р и Q вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня ( 2).
Построим линии пересечении плоскостис заданными плоскостями:
Найдем точку пересечения построенных прямых / n=К. Точка К принадлежит одновременно обеим заданным плоскостям и Р, и Q, следовательно, точка К принадлежит линии пересечения заданных плоскостей.
Вводится вторая вспомогательная горизонтальная плоскость уровняПри помощи плоскости находится вторая точка F, которая принадлежит линии пересечения.
Прямая m – линия пересечения плоскостей P и Q – проходит через точки К и F.B качестве вспомогательных секущих плоскостей (посредников) можно выбирать любые проецирующие плоскости.
9. Способы преобразования чертежа. Основные задачи преобразования.
Задачи, в которых требуется определить метрические величины углов, длин, площадей, называются метрическими задачами. Решение таких задач значительно упрощается, если заданные на исходном чертеже геометрические образы занимают частные положения (т.е. параллельны или перпендикулярны одной из плоскостей проекциий). В случае когда геометрические образы расположены в общем положении, возникает необходимость преобразования комплексного чертежа. Цель преобразования – придать геометрическим образам такое частное положение, которое позволяет упростить решение поставленной задачи. При решении задач наиболее часто применяются два способа преобразования комплексного чертежа: плоскопараллельное перемещение и замена плоскостей проэкций При изучении способа плоскопараллельного перемещения важно уяснить следующие основные положения: 1)плоскости проекций неподвижны, а оригинал перемещается в пространстве; 2)все точки оригинала перемещаются во взаимно параллельных плоскостях уровня (каждая в своей плоскости). Если рассматривать плоскопараллельное перемещение прямой или плоскости, то важно учитывать, что в процессе перемещения геометрического образа не изменяется угол его наклона к той плоскости проекций, относительно которой совершается его плоскопараллельное перемещение. Из сказанного следуют основные правила построения комплексного чертежа:
Проекция оригинала на плоскости, параллельно которой совершается его движение, сохраняет свою форму и величину, изменяя только положение.
Проекции точек оригинала на другой плоскости проекций перемещаются по прямым, перпендикулярным соответствующим линиям связи (при этом проекция оригинала на эту плоскость меняет свое положение и форму).
При изучении способа замены плоскостей проекций важно понять, что при этом способе оригинал остается неподвижен, а одна из плоскостей проекций заменяется на новую, перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекций и расположенную частным образом относительно оригинала. При замене одной из плоскостей новой плоскостью расстояния от точек геометрического объекта до незаменяемой плоскости проекций остаются постоянными. Следовательно, на комплексном чертеже присутствие осей между двумя заданными плоскостями проекций, а также между вновь введенной плоскостью и той, которая осталась, обязательны. Для того чтобы понять, как осуществляется построение на комплексном чертеже при замене плоскостей проекций по отношению к объекту, нужно понять, как происходит замена плоскостей проекций по отношению к точке. Пусть дана точка А (А1А2) в заданной системе плоскостей проекций П1/П2 (рис.19). Первоначально заменим плоскость П2 на новую плоскость П4 ( ).Помня о том, что линии связи всегда перпендикулярны координатным осям, проводим A1A4 X14. Для построения точки А в П4 замеряем расстояние её до незаменяемой плоскости проекций П1 которое снимаем на П2 (от А2 до Х12). Затем заменяем плоскость П1 на П5 (П5 П4), П4 в данной замене выполняет роль неподвижной (незаменяемой) плоскости. Плоскости П4 и П5 разделяет ось Х45. Для построения точки А в П5 проводим аналогичные рассуждения, что и для построения точки в П4, расстояние точки А до незаменяемой плоскости проекций П4 замеряется на П1 и равно расстоянию от А1 до Х14.Изучив и запомнив основы способов плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций, следует научиться решать этими способами основные задачи преобразования комплексного чертежа (табл.3 и 4). Таблица 3 Для способов преобразования комплексного чертежа характерны следующие преобразования в отношении геометрических объектов:
Прямая общего положения может быть преобразована в линию уровня.
Линия уровня преобразуется в проецирующую прямую.
Плоскость общего положения сначала преобразуется в проецирующую плоскость.
Проецирующая плоскость может быть преобразована в плоскость уровня.
Способы преобразования комплексного чертежа применяются при решении следующих задач:
Первая задача — перевод прямой общего положения в прямую уровня. Задача решается с целью определения натуральной величины отрезка прямой линии и углов её наклона к плоскости проекций.
Вторая задача — перевод прямой уровня в проецирующую прямую. Цель решения задачи заключается: в определении натуральных величин расстояний от точки до прямой, между параллельными прямыми, между скрещивающимися прямыми; и в определении натуральной величины двугранного угла (угла между плоскостями).
Третья задача — перевод плоскости общего положения в проецирующую плоскость. Область применения задачи — определение натуральной величины углов наклона плоскости к плоскостям проекций, упрощение определения расстояния от точки до плоскости между параллельными плоскостями, упрощение решения задач на взаимное пересечение линии и плоскости, а также пересечения двух плоскостей.
Четвертая задача — перевод проецирующей плоскости в плоскость уровня. Решение необходимо для определения истинного вида плоской фигуры, её метрических размеров и для выполнения различных геометрических построений в плоскости фигуры.
Таблица 4
Научившись решать четыре основные задачи преобразования комплексного чертежа, можно приступить к решению любых метрических задач начертательной геометрии. Все метрические задачи можно разделить на три основные группы: определение расстояний, определение углов, определение натурального вида плоских фигур. Эти задачи имеют широкое распространение при решении практических задач, при проектировании изготовления деталей, сборочных машин и механизмов. 11.Гранные и кривые поверхности11.1. Общие сведения о поверхностях и их изображениях на комплексном чертеже. Точка и линия на поверхности «Поверхность — это след линии, движущейся в пространстве». Такое определение поверхности дал древнегреческий математик Эвклид, живший в III-IV веке до н. э. Движущаяся линия называется образующей. Она при движении может сохранять или изменять свою форму, подчиняясь какому-либо закону. Закон перемещения образующей включает другие линии, называемые направляющими, по которым скользит образующая при своем перемещении в пространстве, а также характер движения образующей (рис.29). В некоторых случаях одна из направляющих может превращаться в точку (рис. 29в) или находиться в бесконечности — цилиндрическая поверхность. В начертательной геометрии поверхности рассматривают, исходя из кинематики их образования, и поверхность может быть определена как совокупность всех последовательных положений некоторой линии (образующей), перемещающейся в пространстве по определенному закону. Сочетание образующих и направляющих поверхности называется ее каркасом. На комплексном чертеже любая поверхность задается своим определителем — совокупностью геометрических элементов задающих поверхность, позволяющих реализовать кинематический закон образования поверхности (см. рис. 29) и позволяющих построить каждую точкуповерхности Р(n т),
В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности делят на две группы: линейчатые и нелинейчатые. Одна и та же поверхность может быть образована по-разному (рис.30). Поверхность цилиндра, например, может быть образована: 1) вращением образующей / вокруг оси i. 2) перемещением окружности к вдоль оси i. 3) вращением вокруг оси i образующей т. Если направляющей будет ломаная линия, состоящая из ряда прямолинейных звеньев, то поверхность цилиндра превращается в поверхность призмы, а поверхность конуса — в поверхность пирамиды. 11.2. Многогранники. Задание на комплексном чертеже. Определение видимости элементов многогранников Поверхности, состоящие из ряда плоскостей — граней, называются многогранниками. Образуются перемещением образующей по ломаной линии направляющей. Наибольший практический интерес представляют пирамиды и призмы. Элементами многогранников являются вершины, ребра, грани (рис.31). О (£, л Рис.31Совокупность всех ребер многогранника называется его сеткой или каркасом. Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его сетки (каркаса). Пирамида образуется перемещением образующей / по ломаной направляющей т, при этом / закреплена в точке S — вершине, которая неподвижна. Призма образуется перемещением образующей / по ломаной направляющей т, при этом / остается параллельна заданному направлению S. Задание на комплексном чертеже пирамиды и призмы представлено на рис.32 и рис.33. Видимость элементов многогранника определяется с помощью конкурирующих точек (см. рис. 32 и 33) и следующих правил
Линии, образующие внешний контур (очерк) каждой проекции, всегда видимы.
Если внутри очерка пересекаются проекции двух ребер, то одна из них видимая, другая — нет. Видимость определяется при помощи конкурирующих точек.
Если проекция хотя бы одного из ребер, ограничивающих грань невидима, то невидима вся граньна этой плоскости проекции.
Если внутри очерка сходятся в одной точке проекции трех ребер, то или все три видимы, или все три не видимы. Исходя из этого, достаточно определить видимость одной из трех проекций ребер, видимость двух других будет такой же.
Если видимость на одной проекции определена, видимость на другой проекции можно определить без дополнительных построений. Если последовательность наименований вершин при обходе какой либо грани по часовой или против часовой стрелки одинакова на обеих проекциях, то и видимость грани на обеих проекциях также одинакова.
11.3. Поверхности вращения
Ось вращения
Поверхности вращения имеют широкое применение в технике, так как являются определяющими многих деталей различных механизмов. Это объясняется распространенностью вращательного движения, простотой изготовления и обработки деталей с поверхностями вращения. Образуются вращением производящей линии вокруг неподвижной оси i , перпендикулярной одной из плоскостей проекций. Определителем поверхности вращения является образующая линия / и ось вращения i (рис.34). При вращении образующей / вокруг оси i, перпендикулярной Пь т. А и т. Е описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси i, следовательно, параллельны между собой. Они называются параллелями и проецируются без искажения на ту плоскость, которая перпендикулярна оси i.
Рис. 34
Параллель наименьшего диаметра называется горлом, наибольшего — экватором. Линия пересечения поверхностей вращения с плоскостью, проходящей через ось i, называется меридианом, а секущая плоскость называется меридиальной. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекции П2, то она называется плоскостью главного меридиана. Эта плоскость определяет очерк поверхности на П2, разбивает поверхность на две части: переднюю — видимую на П2 и заднюю — невидимую на П2, что позволяет определить видимость элементов поверхности вращения при взгляде спереди. Совокупность меридианов или параллелей (или их сочетание) образует каркас поверхности вращения. Каждую точку поверхности можно построить с помощью линий каркаса. Наиболее удобными линиями при этом построении являются параллели. 11.4. Виды поверхностей вращения Поверхности вращения подразделяются: А. Поверхности, образованные вращением прямой линии вокруг оси i (цилиндр, конус, однополостный гиперболоид). Точки на поверхностях находят с помощью параллелей или образующих (рис.35). Определитель поверхностей один Q(i, Г).-Б. Поверхности, образованные вращением окружности вокруг оси i (сфера — шаровая поверхность, тор) (рис.36). 1. Шаровая поверхность — образующая окружность, вращается вокруг своего диаметра, так как ось вращения i совпадает с ее диаметром. Экватор / и меридиан к равны: 1 = к (рис.36). Точка С лежит на главном меридиане. Точка Е лежит на экваторе. Определить т. А, В можно с помощью параллелей своего радиуса. см на II 1 Рис. 362. Тор — поверхность, образованная при вращении окружности вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности, не проходящей через ее центр. Тор может быть открытым или закрытым в зависимости от R образующей окружности и центра, и расстояния от центра оси вращения (рис.37а, б). В. Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка (эллипс, парабола, гипербола) вокруг их оси (рис.38 а, б, в, г). Эти поверхности могут быть заданы уравнением второй степени.
Рассмотрим поверхности, образованные вращением эллипса, параболы и гиперболы вокруг их осей. Эллипсоид вращения бывает двух видов: а) вытянутый, который образуется при вращении эллипса вокруг его большой оси (рис.38); б)сплюснутый, образованный вращением эллипса вокруг его малой оси. Параболоид вращения — поверхность, получающаяся вращением параболы вокруг ее оси (рис.39). При вращении гиперболы могут получиться два вида гиперболоида вращения: а) однополостный гиперболоид, образующийся при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси (рис. 40а). Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, так как может быть образован и вращением прямой /(/ь /2) вокруг скрещивающейся с ней оси i (»i, «2 ) (рис.41);
Рис. 406
б) двуполостный гиперболоид образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис.406).Рис. 40а
На рис.40 показан также асимптотический конус, который образуется при вращении асимптот гиперболы, причем однополостный гиперболоид расположен во внешней области асимптотического конуса, а двуполостный гиперболоид — в его внутренней области. Все рассмотренные поверхности вращения, за исключением тора, являются алгебраическими поверхностями второго порядка, так как при пересечении прямой линии с каждой из этих поверхностей образуется не более двух точек. В результате пересечения прямой линии с поверхностью тора могут получиться четыре точки. Поэтому тор является поверхностью 4-го порядка. Построение точки А на каждой из разобранных поверхностей вращения осуществлено с помощью соответствующей параллели (рис.35-41).11.6. Линейчатые поверхности Линейчатой называется поверхность, которая образована перемещением прямой линии в пространстве по какому-либо закону. В зависимости от вида направляющих линий и характера движения образующей, получаются виды линейчатых поверхностей: развертываемые и неразвертываемые. А. Развертываемые линейчатые поверхности (торс, цилиндрическая, коническая).
Рис. 45а
1. Торс — поверхность с ребром возврата т, образуется движением прямолинейной образующей /, касающейся во всех положениях пространственной кривой m (рис. 45). 2. Цилиндрическая поверхность. Ребро возврата удалено в бесконечность. Поверхность образуется движением прямой /, имеющей построенное направление S по некоторой кривой п (рис. 46).
Рис. 46
3. Коническая поверхность. Ребро возврата выродилось в точку S. Поверхность образуется перемещением прямой /, проходящей через точку S, по некоторой кривой п, может иметь две полости (рис. 47)..
Рис. 47
Б. Неразвертываемые линейчатые поверхности (цилиндроид, коноид, косая плоскость). Этот вид поверхностей образуется перемещением прямой /, перемещающейся по двум направляющим и остающейся параллельной некоторой плоскости параллелизма, за которую обычно, принимают одну из плоскостей проекций: П1 или П2. 1. Цилиндроид образуется перемещением прямой / по двум направляющим и остающейся параллельно некоторой плоскости параллелизма (рис. 48а, б).2.Коноид образуется перемещением прямолинейной образующей / по двум направляющим: кривой и прямой, при этом остается параллельной плоскости параллелизма, (рис. 49). Если прямолинейная образующая п перпендикулярна к плоскости параллелизма, то коноид называется прямым, а если криволинейная направляющая m является цилиндрической винтовой линией, коноид называется винтовым. 3.Косая плоскость (гиперболический параболоид) получается перемещением прямой / по двум скрещивающимся прямыми остающейся параллельной некоторой плоскости параллелизма. (рис,50).
В сечении гиперболического параболоида могут получиться гиперболы, параболы, прямые линии (рис.51).В. Линейчатые винтовые поверхности — геликоиды. Линейчатой винтовой поверхностью называется поверхность у которой одна направляющая — винтовая линия, а другая — прямая (ось винтовой линии). Определителями поверхности является винтовая линия и ее ось : 0 (/, т, /). Геликоид называется прямым, если образующая прямая / перпендикулярная к оси г винтовой линии и эта ось выполняет роль прямой направляющей (рис. 52).
Рис. 52
Если образующая прямая и не перпендикулярна к оси i, то геликоид называют косым или наклонным — Архимедов винт (рис. 53). Геликоиды могут быть закрытыми и открытыми. Прямая / при пересечении оси i винтовой линии образует закрытый геликоид, если / не пересекает ось /, то образуется открытый геликоид. В процессе образования поверхности наклонного геликоида образующие располагаются параллельно образующим поверхности некоторого конуса вращения, ось i которого совпадает с осью i винтовой линии, а образующие имеют тот же наклон к оси i винтовой линии, что и образующие геликоида. Этот конус называется направляющим. Определитель наклонного геликоида состоит из направляющих: винтовой линии m(mb m2), оси винтовой линии i (z»b i2) и образующей /(/,, /2), которая располагается под углом а к оси винтовой линии. Наведя каркас из образующих / и проведя огибающую семейства фронтальных проекций образующих /, на П2 получаем очертание наклонного геликоида. Сечение геликоида плоскостью £ (£2), перпендикулярной оси геликоида (нормальное сечение), представляет собой спираль Архимеда, требует специального построения (рис. 53).
12. Пересечение поверхностей с плоскостью и прямой линией А. Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью При пересечении какой-либо поверхности плоскостью получается плоская фигура, которая называется сечением. Если секущая плоскость — проецирующая, то построение сечения проводится несложно. Так как одна из проекций секущей плоскости вырождается в прямую линию, то на основании собирательного свойства проецирующих плоскостей эта проекция вбирает в себя все точки плоскости, в том числе и сечение. Таким образом, задача сводится к построению другой проекции сечения. Выделяются общие точки, которые принадлежат как плоскости, так и пересекаемой поверхности. Затем на основании принадлежности этих точек к фигуре строятся их недостающие проекции. При пересечении плоскостью многогранника в сечении получается многоугольник (ограниченный замкнутой ломаной линией). Число его сторон и вершин равно числу граней и ребер многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Построение сечения многогранника можно осуществить двумя способами: 1) отыскание вершин многоугольника сечения — способ ребер. При этом построение сводится к тому, что несколько раз решается задача нахождения точки пересечения прямой (ребро) с плоскостью (секущая плоскость) — первая позиционная задача; 2) отыскание сторон многоугольника сечения — способ граней.При этом несколько раз решается задача нахождения линии пересечения двух плоскостей (грани и секущей плоскости) — вторая позиционная задача. При пересечении плоскостью кривых поверхностей в сечении получаются плоские кривые линии. Как уже было сказано, если секущая плоскость проецируется в прямую линию, то вторую можно построить по отдельным точкам (рис. 54).
Среди точек кривой пересечения имеются такие, которые особенно расположены по отношению к плоскостям проекций или занимают особые места на кривой. Такие точки называются опорными, и при построении сечения эти их определяют в первую очередь. К опорным точкам относятся экстремальные точки, очерковые точки и точки смены видимости -Экстремальные точки — это высшая и низшая точки сечения, самая близкая и дальняя относительно плоскости проекции Пг, самая левая и самая правая относительно П3. Очерковыми называются точки, проекции которых лежат на очерках поверхности. Точки смены видимости разграничивают проекцию линии пересечения на видимую и невидимую часть. Точки смены видимости всегда выбираются из очерковых точек. Часто бывает так, что одна и та же точка является одновременно и экстремальной, и очерковой, и точкой смены видимости. После определения опорных точек при построении кривой линии, для того чтобы точнее определить ее характер, определяется ряд случайных точек. Случайные точки — это точки, которые взяты произвольно. Часто вид сечения заранее известен. Рассмотрим, какие сечения получаются в наиболее часто встречающихся поверхностях. Конус — поверхность, в которой получается пять видов различных сечений: 1. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается треугольник (все линии прямые). Если секущая плоскость не проходит через вершину, в сечении получаются кривые линии.
Если секущая плоскость расположена под углом к основанию и не параллельна ни одной из образующих, то в сечении получается эллипс (т).
Если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса, в сечении получается парабола (п).
Если секущая плоскость параллельна двум образующим, в сечении получается гипербола (к).
Если секущая плоскость параллельна основанию и в прямом конусе перпендикулярна оси, в сечении получается окружность (е), радиус окружности замеряется от оси до очерка (рис.55).
Рис. 55 Цилиндр — поверхность, в сечении которой получается три типа плоских фигур: 1.Если секущая плоскость расположена параллельно основанию и перпендикулярно оси, в сечении получается окружность, радиус которой совпадает с радиусом основания. 2. Если секущая плоскость расположена параллельно оси, в сечении получается прямоугольник. 3. Если секущая плоскость расположена под углом к основанию и пересекает все образующие линии, в сечении получается эллипс (рис. 56).
Сфера — поверхность, в сечении которой всегда получается окружность, как бы ни располагалась секущая плоскость. Радиус окружности определяется следующим образом: из центра сферы на секущую плоскость опускается перпендикуляр, и радиус окружности замеряется от точки пересечения перпендикуляра с плоскостью до очерка сферы (рис.57) для 9(02), Для Л(Л2) радиус берется от оси сферы до очерка. Если секущая плоскость — общего положения, то для решения такой задачи удобно преобразовать комплексный чертеж так,чтобы секущая плоскость стала проецирующей, а затем продолжить решение по схеме, описанной выше (рис.58). Б. Пересечение поверхности с прямой линией При пересечении поверхности с прямой линией необходимо определить две точки пересечения, которые называются точками входа и выхода прямой. Задача решается по следующей схеме: 1.Одна из проекций прямой заключается в проецирующую плоскость, затем решается задача построения сечения поверхности проецирующей плоскостью. После того как по-строено сечение, находят общие точки сечения с проекцией прямой. 2. Недостающие проекции точек пересечения строят на основании принадлежности их к прямой при помощи линий связи. 3.Определяется видимость (рис. 59). ftРис. 59
При решении задачи на пересечение прямой линии с поверхностью могут быть использованы способы преобразования комплексного чертежа (рис.60). 13.Взаимное пересечение двух поверхностей. При взаимном пересечении двух поверхностей образуется одна или две замкнутые пространственные линии (линии перехода), которые принадлежат одновременно каждой из пересекающихся поверхностей. Построение этих линий производится по отдельным точкам. Одна линия получается в случае врезки, т.е. когда обе поверхности участвуют в пересечении частично. Две линии получаются в случаи проницания, т.е. когда хотя бы одна из поверхностей полностью участвует в пересечении. Если в пересечении участвуют два многогранника, то линия пересечения получается ломаная, состоящая из ряда прямолинейных отрезков. Если пересекаются многогранник и кривая поверхность, то линия пересечения — ломаная кривая. Если пересекаются две кривые поверхности, то линией пересечения является плавная кривая линия. Существует последовательность определения точек линии пересечения. В первую очередь определяются опорные точки. К ним относятся экстремальные, очерковые (определяются на каждом очерке каждой поверхности), точки смены видимости (выбираются среди очерковых). Если в пересечении участвует многогранник, то точки пересечения его ребер с другой поверхностью также относятся к опорным точкам. После того как найдены опорные точки, определяются случайные точки. Такие точки нужны, если в пересечении участвует кривая поверхность, так как если хотя бы одна из поверхностей кривая, то линией пересечения будет кривая линия. Кривая линия строится тем точнее, чем больше взято случайных точек. Задачи на взаимное пересечение двух поверхностей делятся на три группы сложности. Первая группа сложности — обе поверхности проецирующие. В этом случае две проекции общего элемента (т.е. линии пересечения) заданы на исходном комплексном чертеже — они совпадают с главными (вырожденными) проекциями проецирующих поверхностей. Требуется их только обозначить. Иногда возникает необходимость построить третью недостающую проекцию. В этом случае одну из заданных проекций линий пересечения разбивают на точки, на второй проекции заданной линии находятся проекции обозначенных точек, и затем по двум проекциям точек при помощи линий связи строят третью проекцию (рис.61).
Вторая группа сложности — одна поверхность проецирующая, другая общего положения. Одна проекция общего элемента задана на исходном чертеже — она совпадает с главной (вырожденной) проекцией проецирующей поверхности. Требуется её обозначить. Вторая проекция общего элемента определяется из условия его принадлежности к поверхности общего положения. Для этого необходимо разбить имеющуюся проекцию линии пересечения на точки (опорные и случайные), а затем строить недостающие проекции этих точек из условия принадлежности их поверхности общего положения. Если конус — поверхность общего положения (рис.62а), а призма — проецирующая поверхность, то фронтальная проекция линии пересечения, совпадающая с фронтальной проекцией призмы, разбивается на точки и через них проводят параллели. Затем измеряют радиус параллели (от оси до очерка) и на другой проекции проводят окружность этого радиуса, после чего при помощи линий связи находят недостающие проекции точек линии пересечения. Когда найдены все точки, их соединяют плавной кривой. Так же решается задача, если фигурой общего положения является сфера (рис.626).
Третья группа сложности — обе пересекающиеся поверхности общего положения. В этом случае ни одна из проекций линии пересечения поверхностей на исходном комплексном чертеже не задана. Такие задачи решаются способом введения посредников, что сводит решение каждой задачи к пересечению двух линий, полученных от пересечения посредника с заданными поверхностями. Существует два способа решения такого типа задач: способ вспомогательных секущих плоскостей и способ сфер. 1. Способ вспомогательных секущих плоскостей применяется в том случае, если в сечении обеих поверхностей получаются простые по графическому построению линии (окружности или прямые). Секущие плоскости задаются обязательно частного положения, в большинстве случаев выбираются как посредники плоскости уровня. Рассмотрим этот способ решения задачи. Пример Построить линию пересечения полусферы Р и пирамиды Q (рис,63).1) анализ чертежа показывает, что это задача третьей группы сложности (пирамида и полусфера — фигуры общего положения).Задача решается при помощи посредников. За посредники выберем горизонтальные плоскости уровня. Они пересекают Р по параллелям, a Q по треугольникам — графически простым линиям. 2) определяем опорные точки на линии пересечения т. Находим точки пересечения ребер пирамиды с полусферой: Mi, Fj и Ер Точку M-SB Р находим с помощью плоскости 2(£i) — плос кости главного меридиана полусферы Р. Точки Е и F получаются в результате пересечения ребер AS и SC и полусферой Р, найдены точки с помощью плоскости А(Д2) — плоскость экватора полу сферы. Точки М, Е, F являются экстремальными точками, а так же очерковыми на П2, точки Е и F очерковыми на Нь и они же точки смены видимости на П1. 3) случайные точки определяем с помощью плоскостей уровня Х(Х2) и Г(Г2); X P-n(n2,ni) — параллель полусферы X Q^l(hJ\) — треугольник DTS; = точки I и 2. Аналогично с помощью плоскости Г(Г2) находятся точки 3 и 4. 4) соединяем найденные точки линии m с учетом видимости. 5) определяем взаимную видимость Р и Q. 2. Способ вспомогательных сфер основан на одном свойстве поверхностней вращения: если центр сферической поверхности расположен на оси поверхности вращения (сфера и поверхность вращения в этом случае называются соосными), то при их взаимном пресечении образуется окружность. Причем плоскости этих окружностей располагаются перпендикулярно к оси поверхности вращения (рис.64а, б).
Рис.64а
Рис. 646 Благодаря этому свойству сферические поверхности используются в качестве вспомогательных при определении точек линии пересечения между поверхностями двух тел вращения с пересекающимися осями. Способ, где посредником берется сфера, называется способом вспомогательных концентрических сфер. Применяется он, только если соблюдаются три условия:
Обе поверхности должны быть поверхностями вращения.
Обе поверхности должны иметь общую ось симметрии (т.е. должны быть соосными).
Оси симметрии пересекающихся поверхностей должны быть прямыми линиями, и эти оси должны пересекаться. Рассмотрим применение этого способа на практическом примере.
Пример Построить линию пересечения между поверхностями цилиндра и конуса, оси которых пересекаются под углом (рис.65).
Общая плоскость симметрии обоих тел P(Pj) расположена параллельно плоскости П2.
Рис. 65
Поэтому высшая и низшая точки линии пересечения M(Mi, М2) и N(Nb N2) получаются в пересечении очерковых образующих. Все остальные точки линии пересечения находим с помощью вспомогательных сфер, которые проводим из точки пересечения осей конуса и цилиндра О(ОЬ О2). Сферой наименьшего радиуса является сфера, вписанная в поверхность одного из пересекающихся тел. С поверхностью другого тела такая сфера должна пересекаться. Для того чтобы определить, в какую из пересекающихся фигур вписывается наименьшая сфера и точки пересечения осей О(О2) на очерковые образующие фигуры опускаем перпендикуляры; тот из перпендикуляров, который окажется больше, и будет радиусом наименьшей сферы (Rmin=O2K2). Проведенная из центра О(О2) вписанная в поверхность конуса сфера Ф(Ф2) касается поверхности конуса по окружности m(n^,mj) и пересекается с поверхностью цилиндра по окружности п(п2). Обе эти окружности на П2 проецируются в виде прямых отрезков К2К»2 и А2А’2. Так как построенные окружности принадлежат одной и той же сфере Ф, то они пересекаются в двух точках Е(Еь Е2) и F(Fi, F2), которые являются общими для поверхностей кону- са и цилиндра, следовательно, располагаются на линии их пересечения. Произвольные точки 1, 2, 3, 4 определены с помощью концентрической сферы £(22) радиусом большим, чем радиус вписанной сферы. После того как все точки найдены в двух проекциях они соединяются плавной линией на П2, и на nt с учетом видимости. Если две пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения и имеют общую плоскость симметрии, но оси этих плоскостей не пересекаются, то в этом случае применяется способ эксцентрических сфер. При этом способе точки линии пересечения между двумя поверхностями определяются при помощи сфер, проводимых из различных центров. Разберем применение этого способа на примере. Пример Построить линию пересечения между поверхностями конуса и тора.
Рис. 66
Сначала определяем опорные точки. Общая плоскость симметрии обеих тповерхностей расположена параллельно плоскости П2. Поэтому высшая точка линии пересечения М(МЬ М2) получается в пересечении очерковых образующих. Плоскость основания обоих фигур также совпадает и параллельна П]. На nt оба основания проецируются от проведения плоскости 8(02) в виде окружностей и их пересечения дают две нижних точки линии пересечения Е(ЕЬ Е2) и F(F|, F2). Для определения произвольных точек 1, 2 через ось тора проводят вспомогательную фронтально проецирующую плоскость, которая пересечет тор по окружности с центром А(А2). Эта окружность проецируется на П2 в виде отрезка В2В»2. Из центра этой окружности (А2) проводится перпендикуляр к отрезку B2BV2. Пересекаясь с осью конуса, он определяет центр сферы О(О2). Из центра О(О2) проводится вспомогательная сфера Ф(Ф2) такого радиуса, чтобы она пересекала тор по окружности ВВ\ B2BV2). Эта сфера пересекает конус по окружности СС»(С2С*2)- Обе найденные окружности пересекутся в точках 1(12,1!) и 2(22,2]), располагающихся на линии пересечения поверхностей конуса и тора. Точки 3 и 4 определены при помощи вспомогательной сферы Х(£2) из центра (У(О’2), найденного аналогичным построением с помощью вспомогательной плоскости Q(Q2). После того как все точки найдены, в двух проекциях они соединяются плавной кривой линией на П2 и на П[. В заключение определяется взаимная видимость конуса и тора. В некоторых случаях кривая, которая получается при пересечении поверхностей вращения, распадается на две плоские кривые,. Условия, при которых происходит распадение линии пересечения на две плоские кривые, оговариваются в трех теоремах. Теорема 1. Если две поверхности вращения (второго порядка) пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой (рис. 67а, б). Теорема 2. Если две поверхности вращения касаются в двух точках М и N (рис. 68), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые.
Рис. 68
Теорема 3 (теорема Г. Монжа). Если поверхности вращения второго порядка вписаны или описаны около третьей поверхности вращения второго порядка (сферы), то в результате их пересечения образуются плоские кривые второго порядка (рис.69). Развертки поверхностей Разверткой называют плоскую фигуру, полученную при совмещении развертываемой поверхности с плоскостью. Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися. Рассмотрим различные виды разверток. Точные развертки (гранные поверхности, конус и цилиндр) (рис. 70). Приближенные (кривые развертываемые поверхности). Кривую поверхность заменяют гранной поверхностью. Точность развертки зависит от величины отсеков гранной поверхности, значит, от их количества (рис.71). Чтобы из приближенной развертки получить нужную поверхность, достаточно изогнуть тонкий лист на котором начерчена развертка. Приближенно—условные развертки (неразвертываемые кривые поверхности). Теоретически у иеразвертываемых поверхностей разверток быть не может. Развертка получается условно, если эту поверхность заменить такими простыми развертывающимися поверхностями, как цилиндры и конусы. Последние в свою очередь заменяют многогранными поверхностями, которые и развертывают. Существует несколько способов построения разверток поверхностей.
Способ треугольника (триангуляция). Этот способ применяется для построения разверток гранных поверхностей и всех линейчатых поверхностей. Кривую линейчатую поверхность заменяют вписанной гранной поверхностью (рис.70, 71).
Способ нормального сечения (рис.72).
Способ раскатки.
Способ вспомогательных цилиндров и конусов (для построения условно-приближенных разверток).
Рассмотрим несколько примеров построения разверток поверхностей. Пример 1. Построить развертку поверхности пирамиды (рис. 70). Поскольку у пирамиды боковые грани являются треугольниками, то построение её развертки сводится к построению натуральных величин этих треугольников и натуральных величин основания. Натуральные величины ребер определены способом плоскопараллельного перемещения. Развертка пирамиды — это ряд пристроенных друг к другу граней и основания.Рис. 70 Пример 2. Построить развертку боковой поверхности усеченного конуса (рис. 71). Заменяем поверхность конуса восьмиугольной пирамидой, вписанной в конус. Натуральную величину образующих определяем способом плоскопараллельного перемещения. Это построение можно выполнить на исходном чертеже, переместив все образующие и отрезки на них в положение крайней образующей, которая расположена параллельно П2. Дуги основания конуса заменяем рядом хорд и развертку строим аналогично развертке пирамиды(ряд треугольников).Затем полученные точки соединяем плавной кривой линией.
Пример 3. Построить развертку наклонной призмы (рис. 72). Для определения рассгояния между ребрами призмы нужно определить натуральную величину нормального сечения плоскостью Р(р2), перпендикулярной к боковым ребрам. Натуральную величину» нормального сечения определяют заменой плоскостей проекции или плоскопараллельным перемещением. На развертке фигура нормального сечения представляет собой прямую линию, длина которой равна сумме сторон нормального сечения. Натуральные величины ребер АА\ ВВ\ СС\ ДД» снимают с П2. Так как ребра данной призмы параллельны П2, то и натуральная величина их читается на П2. Если ребра призмы — прямые общего положения, то необходимо сначала определить их натуральную величину, затем натуру нормального сечения и строить развертку но описанной выше рекомендации.
Скачать бесплатно учебник с картинками