теория вероятности Южно-Уральский институт управления и экономики (ЮУИУИЭ)

Контрольная работа ЮУИУИЭ

  Эти задачи мы уже решили

Цена 100 рублей

ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа.

Контрольную работу по математике успешно выполняют 70 % студентов. Найти вероятность того,  что из 400 студентов работу выполнят 180.

ЗАДАНИЕ №4. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины.

По заданному закону распределения дискретной случайной величины  Х:

хi 0 1 2 3 4
pi 0,2 0,2 0,3 0,2 0,1

Составить функцию распределения F(x) и  изобразить ее график. Вычислить М(Х), D(Х), sх.

 

ЗАДАНИЕ №5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение. Выборочные характеристики статистического распределения.

По данному статистическому распределению выборки вычислить:

a)     выборочную среднюю,

b)    выборочную дисперсию,

c)     выборочное среднее квадратическое отклонение.

Построить полигон частот или гистограмму.

xi 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18
ni 6 12 17 10 4 1

ЗАДАНИЕ №6 Нормальное распределение. Доверительные интервалы.

Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания М(X) нормального распределения с надежностью ¡, зная выборочную среднюю, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s(X).

=91,0;  s(X)=12;  n=225;  ¡=0,95.

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

ЗАДАНИЕ №1. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий.

 

Задача 1. В коробке 10 плиток шоколада, среди которых 7 с орехами. Наудачу взяли 3 плитки. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одна плитка с орехами.

Решение

Пусть A – искомое событие. Найдём вероятность события Ā, то есть вероятность того, что среди взятых плиток нет шоколадок с орехами. Согласно классической формуле вероятность искомого события равна:

Р(Ā) = m/n,

где m – количество благоприятных событию Ā исходов; n – количество всех исходов.

Имеем неупорядоченную выборку (порядок выбора плиток шоколада не имеет значения) без повторений (одну и ту же плитку нельзя взять два раза). Следовательно, имеем: n=10; m=10-7 = 3

Вероятность события Ā: Р(Ā) = 3/10= 0,3.

Отсюда вероятность того, что среди взятых плиток хотя бы одна плитка с орехами:

Р(А) = 1- 0,3 = 0,7.

Ответ: 0.7

 

Задача 2 Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию

Решение

Испытание: присвоение знака качества.

События: А– знак качества присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию;

Вероятности событий: Р(А) =0,7; Р(В)=0,9; Р(С)=0,8,

Вероятности противоположных событий (изделиям не присвоен знак качества): Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.

Для нахождения вероятностей событий используем теоремы сложения и умножения вероятностей событий

а) Вероятность того, что знак качества будет присвоен всем изделиям:

Р1= Р(А)∙Р(В)∙Р(С) = 0,7∙0,9∙0,8=0,504.

б) Вероятность того, что знак качества будет присвоен только одному изделию: Р2 = Р(А) + Р(ĀВ) +Р(ĀС) =

= 0,7∙0,1∙0,2+0,3∙0,9∙0,2+0,3∙0,1∙0,8=0,014+0,054+0,024 = 0,092

в) Вероятность того, что знак качества будет присвоен хотя бы одному изделию:

Р3=1 — =1-0,3∙0,1∙0,2=1 — 0,006 = 0,994.

Ответ: а) 0,504; б) 0,092; в) 0,094.

 

ЗАДАНИЕ № 2. Теорема полной вероятности события.

Задача 3. Количество панелей, поступающих на стройку с заводов №1, №2, №3 пропорционально 5:7:8; причем процент выпуска бракованных изделий с завода №1 равен 5%, с завода №2 — 4% и с завода №3 — 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная панель содержит брак?

 

Решение:

Пусть событие А– случайно выбранная панель содержит брак;

Введём гипотезы:

Н1 – панель поступила на стройку с завода №1;

Н2 – панель поступила на стройку с завода №2;

Н3 – панель поступила на стройку с завода №3;

Вероятности гипотез:

Р(Н1) = 5/20=0,25; Р(Н2) = 7/20=0,35; Р(Н3) = 8/20=0,4.

Условные вероятности события А относительно каждой гипотезы:

Р(А/Н1) = 0,05, Р(А/Н2) = 0,04, Р(А/Н3) = 0,02.

Вероятность события А вычислим, используя формулу полной вероятности:

Р(А) = Σ Р(Нi)∙Р(А/Нi):

Р(А) = Р(Н1)∙Р(А/Н1)+ Р(Н2)∙Р(А/Н2)+ Р(Н3)∙Р(А/Н3)

Р(А) = 0,25∙0,05+0,35∙0,04+0,4∙0,02 = 0,0125+0,014+0,008=0,0345

Ответ: 0, 0345.

 

Задача 4. Каждое изделие проверяется одним из двух контролёров. Первый обнаруживает дефекты с вероятностью 0,85, второй – с вероятностью 0,7. Имевшийся в изделии дефект не был обнаружен. Какова вероятность того, что его проверял второй контролёр?

Решение

Пусть событие А– дефект в изделии не был обнаружен;

Введём гипотезы:

Н1 – изделие проверено первым контролёром;

Н2 – изделие проверено вторым контролёром;

Вероятности гипотез:Р(Н1) = 0,5; Р(Н2) = 0,5.

Условные вероятности события А относительно каждой гипотезы:

Р(А/Н1) = 1 — 0,85 = 0,15;  Р(А/Н2) = 1 — 0,7 = 0,3.

Вероятность того, что изделие проверял второй контролёр, вычислим, используя формулу Байеса:

 

Ответ:

 

ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа

 

Задача 5. Вероятность того, что родится мальчик, равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, 4 мальчика и 2 девочки?

Решение

Обозначим событие А – рождение мальчика. По условию вероятность рождения мальчика: Р(А) = р =0,51, тогда рождение девочки: Р(Ā) = q = 1 – p = 0,49. Имеет место схема повторных независимых испытаний, к которой применима формула Бернулли, так как n = 6< 10:

,

тогда вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, 4 мальчика и 2 девочки:

 

Ответ: 0,2436

 

Задача 6. Найти вероятность того, что в результате 900 бросаний монеты не менее 475 раз выпадет герб.

Решение

Поскольку п = 900 велико, а вероятность выпадения герба не мала, применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа:

Ответ:

 

Задача 7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,72. Найти вероятность того, что мишень из 100 выстрелов будет поражена ровно 72 раза.

Решение

Событие А – мишень поражена.

Р(А) = р =0,72; а=np=100∙0,72=72 >10; q = 1 – 0,72=0,28.

Имеет место схема повторных независимых испытаний. Так как n =100 велико, р = 0,72 и q = 0,28 не малы, то применима локальная формула Муавра-Лапласа:

Ответ: 0,0888

 

Задача 8. При транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток повреждёнными окажутся а) ровно 4; б) не более 2.

Решение

Поскольку вероятность р = 0,025 мала, число п = 200 достаточно велико и

а = пр=5< 10, можно воспользоваться формулой Пуассона:

Ответ: а) 0,1755; б) 0,1247.

 

ЗАДАНИЕ №4. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины

 

Задача 9. В партии из 6 изделий имеется 2 бракованные. Наудачу выбираются 3  изделия. Пусть Х – разность между числом стандартных и числом бракованных изделий среди выбранных. Найти ряд распределения, математическое ожидание, дисперсию  и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Составить функцию распределения и построить её график.

Решение

Случайная величина Х – разность между числом стандартных и числом бракованных изделий – может принимать значения 0, 1, 2. Найдём вероятности принятия случайной величиной Х каждого из этих значений.

Р(Х=0) =

Р(Х=1) =

Р(Х=2) = .

Условие нормировки выполняется, так как: ΣР(Нi)=0,2+0,6+0,2=1

Ряд распределения случайной величины Х:

хi 0 1 2
pi 0,2 0,6 0,2

 

Математическое ожидание: М(Х) = Σ хi∙pi = 0∙0,2 + 1∙0,6 +  2∙0,2= 1.

Дисперсия: D(X) = Σ хi2∙pi — mx2= 02∙0,2 + 12∙0,6 +22∙0,2 — 12 = 0,4.

Среднее квадратическое отклонение:

Функция распределения:

Ответ: М(Х) = 1; D(X) =0,4;

 

ЗАДАНИЕ №5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение. Выборочные характеристики статистического распределения.

 

Задача 10. По данному статистическому распределению выборки вычислить:

a)     выборочную среднюю,

b)    выборочную дисперсию,

c)     выборочное среднее квадратическое отклонение.

Построить полигон частот или гистограмму.

xi 9 10 11 12 14
ni 5 12 18 11 4

Решение

Объём выборки:

Составим расчётную таблицу:

i

xi

ni

xini

xi²

xi²ni

1

9

5

45

81

405

2

10

12

120

100

1200

3

11

18

198

121

2178

4

12

11

132

144

1584

5

14

4

56

196

784

Сумма

50

551

642

6151

Средние

11,02

12,84

123,02

Выборочная средняя:

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Полигон частот:

 

Задача 11. Выборка задана интервально. Найти её среднее значение, построить гистограмму относительных частот.

 

i; хi+1) (9; 11) (11; 13) (13; 15) (15; 17) (17; 19)
4 10 14 12 10

Решение

i; хi+1) (9; 11) (11; 13) (13; 15) (15; 17) (17; 19)
4 10 14 12 10
10 12 14 16 18
0,08 0,2 0,28 0,24 0,2
0,04 0,1 0,14 0,12 0,1

 

Объём выборки:

 

 

Гистограмма относительных частот

 

ЗАДАНИЕ №6 Нормальное распределение. Доверительные интервалы.

 

Задача 12. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины Х с надёжностью γ = 0,95, если известны выборочная средняя  хв = 9, объём выборки  п = 100 и среднее квадратическое отклонение σ = 3.

Решение

Доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормальной случайной величины Х находится по формуле:

 

Параметр t найдём с помощью таблицы значений функции Лапласа: Ф(t) = γ/2 = 0,475, значит t = 1,96. Получим

 

9 – 0,588 < a < 9 + 0,588

8,412 < a < 9,588

Ответ: (8,412;  9,588)

 

ЗАДАНИЕ №7. Корреляционная зависимость.

 

Задача13. Дана корреляционная таблица. Используя метод наименьших квадратов, найти:

а) выборочный коэффициент корреляции,

б) выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X, построить график.

Y\X

5

10

15

20

25

30

пy

35

4

2

6

45

5

3

8

55

5

45

5

55

65

2

8

7

17

75

4

7

3

14

пx

4

7

10

57

19

3

n=100

Решение

По виду корреляционной таблицы можно сделать вывод, что зависимость между факторным признаком Х и результативным признаком Y прямая.

а) Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

 

Для нахождения r вычислим общие средние:

    

Средние квадратические отклонения σх и σу.

  

Y

ny

y∙ny

y2∙ny

35

6

210

7350

45

8

360

16200

55

55

3025

166375

65

17

1105

71825

75

14

1050

78750

100

5750

340500

средние

57,5

3405

Расчётные таблицы:

Х

nx

x∙nx

x2∙nx

5

4

20

100

10

7

70

700

15

10

150

2250

20

57

1140

22800

25

19

475

11875

30

3

90

2700

100

1945

40425

срение

19,45

404,25

С помощью таблиц находим:

5∙35∙4+ 10∙35∙2+10∙45∙5+15∙45∙3+15∙55∙5+15∙65∙2+20∙55∙45+20∙65∙8+

+20∙75∙4+25∙55∙5+25∙65∙7+25∙75∙7+30∙75∙3) = 1157,66.

 

Отсюда коэффициент корреляции равен:

 

Так как r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.

Так как | r | > 0,7 то линейная связь высокая.

Находим линейное уравнение регрессии Y по X:

 

 

уx= 1,52x + 27,94

Изобразим полученные результаты графически. Построим найденную прямую регрессии по двум точкам:

х

5

30

у

35,54

73,54

уx=1,52x+27,94

График функции проходит также через точку (19,45; 57,5)

 

Ответ: Корреляционная связь между признаками прямая, высокая, ее можно описать уравнением: уx=1,52x+27,94.