теория вероятности Южно-Уральский институт управления и экономики (ЮУИУИЭ)
Контрольная работа ЮУИУИЭ
Эти задачи мы уже решили
Цена 100 рублей
ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа.
Контрольную работу по математике успешно выполняют 70 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу выполнят 180.
ЗАДАНИЕ №4. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины.
По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:
| хi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Составить функцию распределения F(x) и изобразить ее график. Вычислить М(Х), D(Х), sх.
ЗАДАНИЕ №5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение. Выборочные характеристики статистического распределения.
По данному статистическому распределению выборки вычислить:
a) выборочную среднюю,
b) выборочную дисперсию,
c) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Построить полигон частот или гистограмму.
| xi | 6-8 | 8-10 | 10-12 | 12-14 | 14-16 | 16-18 |
| ni | 6 | 12 | 17 | 10 | 4 | 1 |
ЗАДАНИЕ №6 Нормальное распределение. Доверительные интервалы.
Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания М(X) нормального распределения с надежностью ¡, зная выборочную среднюю, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s(X).
=91,0; s(X)=12; n=225; ¡=0,95.
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
ЗАДАНИЕ №1. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий.
Задача 1. В коробке 10 плиток шоколада, среди которых 7 с орехами. Наудачу взяли 3 плитки. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одна плитка с орехами.
Решение
Пусть A – искомое событие. Найдём вероятность события Ā, то есть вероятность того, что среди взятых плиток нет шоколадок с орехами. Согласно классической формуле вероятность искомого события равна:
Р(Ā) = m/n,
где m – количество благоприятных событию Ā исходов; n – количество всех исходов.
Имеем неупорядоченную выборку (порядок выбора плиток шоколада не имеет значения) без повторений (одну и ту же плитку нельзя взять два раза). Следовательно, имеем: n=10; m=10-7 = 3
Вероятность события Ā: Р(Ā) = 3/10= 0,3.
Отсюда вероятность того, что среди взятых плиток хотя бы одна плитка с орехами:
Р(А) = 1- 0,3 = 0,7.
Ответ: 0.7
Задача 2 Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию
Решение
Испытание: присвоение знака качества.
События: А– знак качества присвоен первому изделию, Р(В)=0,9 – присвоен второму изделию, Р(С)=0,8 – присвоен третьему изделию;
Вероятности событий: Р(А) =0,7; Р(В)=0,9; Р(С)=0,8,
Вероятности противоположных событий (изделиям не присвоен знак качества): Р(А)=0,3; Р(В)=0,1; Р(С)=0,2.
Для нахождения вероятностей событий используем теоремы сложения и умножения вероятностей событий
а) Вероятность того, что знак качества будет присвоен всем изделиям:
Р1= Р(А)∙Р(В)∙Р(С) = 0,7∙0,9∙0,8=0,504.
б) Вероятность того, что знак качества будет присвоен только одному изделию: Р2 = Р(А) + Р(ĀВ) +Р(ĀС) =
= 0,7∙0,1∙0,2+0,3∙0,9∙0,2+0,3∙0,1∙0,8=0,014+0,054+0,024 = 0,092
в) Вероятность того, что знак качества будет присвоен хотя бы одному изделию:
Р3=1 — =1-0,3∙0,1∙0,2=1 — 0,006 = 0,994.
Ответ: а) 0,504; б) 0,092; в) 0,094.
ЗАДАНИЕ № 2. Теорема полной вероятности события.
Задача 3. Количество панелей, поступающих на стройку с заводов №1, №2, №3 пропорционально 5:7:8; причем процент выпуска бракованных изделий с завода №1 равен 5%, с завода №2 — 4% и с завода №3 — 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная панель содержит брак?
Решение:
Пусть событие А– случайно выбранная панель содержит брак;
Введём гипотезы:
Н1 – панель поступила на стройку с завода №1;
Н2 – панель поступила на стройку с завода №2;
Н3 – панель поступила на стройку с завода №3;
Вероятности гипотез:
Р(Н1) = 5/20=0,25; Р(Н2) = 7/20=0,35; Р(Н3) = 8/20=0,4.
Условные вероятности события А относительно каждой гипотезы:
Р(А/Н1) = 0,05, Р(А/Н2) = 0,04, Р(А/Н3) = 0,02.
Вероятность события А вычислим, используя формулу полной вероятности:
Р(А) = Σ Р(Нi)∙Р(А/Нi):
Р(А) = Р(Н1)∙Р(А/Н1)+ Р(Н2)∙Р(А/Н2)+ Р(Н3)∙Р(А/Н3)
Р(А) = 0,25∙0,05+0,35∙0,04+0,4∙0,02 = 0,0125+0,014+0,008=0,0345
Ответ: 0, 0345.
Задача 4. Каждое изделие проверяется одним из двух контролёров. Первый обнаруживает дефекты с вероятностью 0,85, второй – с вероятностью 0,7. Имевшийся в изделии дефект не был обнаружен. Какова вероятность того, что его проверял второй контролёр?
Решение
Пусть событие А– дефект в изделии не был обнаружен;
Введём гипотезы:
Н1 – изделие проверено первым контролёром;
Н2 – изделие проверено вторым контролёром;
Вероятности гипотез:Р(Н1) = 0,5; Р(Н2) = 0,5.
Условные вероятности события А относительно каждой гипотезы:
Р(А/Н1) = 1 — 0,85 = 0,15; Р(А/Н2) = 1 — 0,7 = 0,3.
Вероятность того, что изделие проверял второй контролёр, вычислим, используя формулу Байеса:
Ответ:
ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа
Задача 5. Вероятность того, что родится мальчик, равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, 4 мальчика и 2 девочки?
Решение
Обозначим событие А – рождение мальчика. По условию вероятность рождения мальчика: Р(А) = р =0,51, тогда рождение девочки: Р(Ā) = q = 1 – p = 0,49. Имеет место схема повторных независимых испытаний, к которой применима формула Бернулли, так как n = 6< 10:
,
тогда вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, 4 мальчика и 2 девочки:
Ответ: 0,2436
Задача 6. Найти вероятность того, что в результате 900 бросаний монеты не менее 475 раз выпадет герб.
Решение
Поскольку п = 900 велико, а вероятность выпадения герба не мала, применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа:
Ответ:
Задача 7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,72. Найти вероятность того, что мишень из 100 выстрелов будет поражена ровно 72 раза.
Решение
Событие А – мишень поражена.
Р(А) = р =0,72; а=n∙p=100∙0,72=72 >10; q = 1 – 0,72=0,28.
Имеет место схема повторных независимых испытаний. Так как n =100 велико, р = 0,72 и q = 0,28 не малы, то применима локальная формула Муавра-Лапласа:
Ответ: 0,0888
Задача 8. При транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток повреждёнными окажутся а) ровно 4; б) не более 2.
Решение
Поскольку вероятность р = 0,025 мала, число п = 200 достаточно велико и
а = пр=5< 10, можно воспользоваться формулой Пуассона:
Ответ: а) 0,1755; б) 0,1247.
ЗАДАНИЕ №4. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины
Задача 9. В партии из 6 изделий имеется 2 бракованные. Наудачу выбираются 3 изделия. Пусть Х – разность между числом стандартных и числом бракованных изделий среди выбранных. Найти ряд распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Составить функцию распределения и построить её график.
Решение
Случайная величина Х – разность между числом стандартных и числом бракованных изделий – может принимать значения 0, 1, 2. Найдём вероятности принятия случайной величиной Х каждого из этих значений.
Р(Х=0) =
Р(Х=1) =
Р(Х=2) = .
Условие нормировки выполняется, так как: ΣР(Нi)=0,2+0,6+0,2=1
Ряд распределения случайной величины Х:
| хi | 0 | 1 | 2 |
| pi | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
Математическое ожидание: М(Х) = Σ хi∙pi = 0∙0,2 + 1∙0,6 + 2∙0,2= 1.
Дисперсия: D(X) = Σ хi2∙pi — mx2= 02∙0,2 + 12∙0,6 +22∙0,2 — 12 = 0,4.
Среднее квадратическое отклонение:
Функция распределения:
Ответ: М(Х) = 1; D(X) =0,4;
ЗАДАНИЕ №5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение. Выборочные характеристики статистического распределения.
Задача 10. По данному статистическому распределению выборки вычислить:
a) выборочную среднюю,
b) выборочную дисперсию,
c) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Построить полигон частот или гистограмму.
| xi | 9 | 10 | 11 | 12 | 14 |
| ni | 5 | 12 | 18 | 11 | 4 |
Решение
Объём выборки:
Составим расчётную таблицу:
|
i |
xi |
ni |
xini |
xi² |
xi²ni |
|
1 |
9 |
5 |
45 |
81 |
405 |
|
2 |
10 |
12 |
120 |
100 |
1200 |
|
3 |
11 |
18 |
198 |
121 |
2178 |
|
4 |
12 |
11 |
132 |
144 |
1584 |
|
5 |
14 |
4 |
56 |
196 |
784 |
|
Сумма |
50 |
551 |
642 |
6151 |
|
|
Средние |
11,02 |
12,84 |
123,02 |
Выборочная средняя:
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
Полигон частот:
Задача 11. Выборка задана интервально. Найти её среднее значение, построить гистограмму относительных частот.
| (хi; хi+1) | (9; 11) | (11; 13) | (13; 15) | (15; 17) | (17; 19) |
| 4 | 10 | 14 | 12 | 10 |
Решение
| (хi; хi+1) | (9; 11) | (11; 13) | (13; 15) | (15; 17) | (17; 19) |
| 4 | 10 | 14 | 12 | 10 | |
| 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | |
| 0,08 | 0,2 | 0,28 | 0,24 | 0,2 | |
| 0,04 | 0,1 | 0,14 | 0,12 | 0,1 |
Объём выборки:
Гистограмма относительных частот
ЗАДАНИЕ №6 Нормальное распределение. Доверительные интервалы.
Задача 12. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины Х с надёжностью γ = 0,95, если известны выборочная средняя хв = 9, объём выборки п = 100 и среднее квадратическое отклонение σ = 3.
Решение
Доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормальной случайной величины Х находится по формуле:
Параметр t найдём с помощью таблицы значений функции Лапласа: Ф(t) = γ/2 = 0,475, значит t = 1,96. Получим
9 – 0,588 < a < 9 + 0,588
8,412 < a < 9,588
Ответ: (8,412; 9,588)
ЗАДАНИЕ №7. Корреляционная зависимость.
Задача13. Дана корреляционная таблица. Используя метод наименьших квадратов, найти:
а) выборочный коэффициент корреляции,
б) выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X, построить график.
|
Y\X |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
пy |
|
35 |
4 |
2 |
6 |
||||
|
45 |
5 |
3 |
8 |
||||
|
55 |
5 |
45 |
5 |
55 |
|||
|
65 |
2 |
8 |
7 |
17 |
|||
|
75 |
4 |
7 |
3 |
14 |
|||
|
пx |
4 |
7 |
10 |
57 |
19 |
3 |
n=100 |
Решение
По виду корреляционной таблицы можно сделать вывод, что зависимость между факторным признаком Х и результативным признаком Y прямая.
а) Оценка тесноты линейной связи между признаками X и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:
Для нахождения r вычислим общие средние:
Средние квадратические отклонения σх и σу.
|
Y |
ny |
y∙ny |
y2∙ny |
|
35 |
6 |
210 |
7350 |
|
45 |
8 |
360 |
16200 |
|
55 |
55 |
3025 |
166375 |
|
65 |
17 |
1105 |
71825 |
|
75 |
14 |
1050 |
78750 |
|
100 |
5750 |
340500 |
|
|
средние |
57,5 |
3405 |
Расчётные таблицы:
|
Х |
nx |
x∙nx |
x2∙nx |
|
5 |
4 |
20 |
100 |
|
10 |
7 |
70 |
700 |
|
15 |
10 |
150 |
2250 |
|
20 |
57 |
1140 |
22800 |
|
25 |
19 |
475 |
11875 |
|
30 |
3 |
90 |
2700 |
|
100 |
1945 |
40425 |
|
|
срение |
19,45 |
404,25 |
С помощью таблиц находим:
5∙35∙4+ 10∙35∙2+10∙45∙5+15∙45∙3+15∙55∙5+15∙65∙2+20∙55∙45+20∙65∙8+
+20∙75∙4+25∙55∙5+25∙65∙7+25∙75∙7+30∙75∙3) = 1157,66.
Отсюда коэффициент корреляции равен:
Так как r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.
Так как | r | > 0,7 то линейная связь высокая.
Находим линейное уравнение регрессии Y по X:
уx= 1,52x + 27,94
Изобразим полученные результаты графически. Построим найденную прямую регрессии по двум точкам:
|
х |
5 |
30 |
|
у |
35,54 |
73,54 |
уx=1,52x+27,94
График функции проходит также через точку (19,45; 57,5)
Ответ: Корреляционная связь между признаками прямая, высокая, ее можно описать уравнением: уx=1,52x+27,94.